苏教版必修第二册课后习题9.3.3 向量平行的坐标表示

9.3.3　向量平行的坐标表示1.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于(　　)A.(-5,-10)　　　　　　B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)答案B解析由题意,得m+4=0,所以m=-4.所以a=(1,2),b=(-2,-4),则2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).2.已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,则tanα等于(　　)A.35B.53C.-35D.-53答案B解析由a∥b,得5cosα-3sinα=0,则sinαcosα=53,即tanα=53.3.若向量a=(k,1),b=(9,k)共线且方向相反,则实数k等于(　　)A.±3B.-3C.3D.0答案B解析∵a与b共线,∴k2-9=0,解得k=±3,又a与b方向相反,∴k=-3.4.若A(4,3),B(5,m),C(6,n)三点在一条直线上,则下列式子一定正确的是(　　)A.2m-n=3B.n-m=1C.m=3,n=5D.m-2n=3答案A解析因为A(4,3),B(5,m),C(6,n)三点在一条直线上,AB=(1,m-3),AC=(2,n-3),又AB∥AC,所以n-3-2(m-3)=0,即2m-n=3.5.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则实数m=　　　　　.  答案-6解析因为a∥b,所以(-2)×m-4×3=0,解得m=-6.6.已知向量a=(1,-2),b=(3,4).若(3a-b)∥(a+kb),则实数k=　　　　　. 答案-13解析3a-b=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),所以0+10(1+3k)=0,解得k=-13.7.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,求实数m的值,并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向?解ma+4b=(2m,3m)+(-4,8)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),因为ma+4b与a-2b共线,所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0,解得m=-2.当m=-2时,ma+4b=(-8,2),所以ma+4b=-2(a-2b),所以ma+4b与a-2b方向相反.8.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2. 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.综上,|a-b|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).9.与a=(3,4)平行的单位向量为(　　)A.35,45B.-1213,-513或-35,-45C.-35,-45或35,45D.±35,±45答案C解析设与a平行的单位向量为e=(x,y),则x2+y2=1,3y-4x=0,∴x=35,y=45或x=-35,y=-45.∴e=35,45或e=-35,-45.10.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　)A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向答案D 解析∵c=ka+b=(k,1),d=a-b=(1,-1),又c∥d,∴-k-1=0,∴k=-1,∴c=(-1,1)=-d,∴c与d反向.11.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　)A.5B.10C.25D.10答案B解析由a⊥c,得2x-4=0,则x=2.由b∥c,得-4=2y,则y=-2,故|a+b|=(2+1)2+(1-2)2=10.12.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ).若(2a-b)∥c,则实数λ等于(　　)A.-3B.13C.1D.3答案A解析因为向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),所以2a-b=(2,6).又因为(2a-b)∥c,所以2λ+6=0,解得λ=-3.13.向量a=(2,-1),|b|=3|a|,a∥b,则b可能是(　　)A.(6,3)B.(3,6)C.(-6,-3)D.(-6,3)答案D14.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　)A.k=-2B.k=12C.k=1D.k=-1答案C解析因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则AB∥AC,又AB=OB-OA=(1,2),AC=OC-OA=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1. 15.(多选)下列各组向量,共线的是(　　)A.a=(-1,2),b=(-2,4)B.a=(-3,2),b=(6,-4)C.a=32,-1,b=(10,5)D.a=(0,-1),b=(3,1)答案AB解析利用平面向量共线的坐标表示可知,A,B满足题意.16.(多选)下列向量组不能表示出向量a=(-3,7)的是(　　)A.e1=(0,1),e2=(0,-2)B.e1=(1,5),e2=(-2,-10)C.e1=(-5,3),e2=(-2,1)D.e1=(7,8),e2=(-7,-8)答案ABD解析因为A,B,D中两个向量都共线,而C中两向量不共线,故C可以把向量a=(-3,7)表示出来,A,B,D不可以.17.(多选)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述不正确的是(　　)A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥aD.存在实数x,m,使(ma+b)∥b答案ABC解析A不正确,若a∥b,则x2+9=0,方程无实根;B不正确,若(a+b)∥a,则3(x-3)-x(x+3)=0,方程无实根;C不正确,若(ma+b)∥a,则3(mx-3)-x(3m+x)=0,方程无实根;D正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有(ma+b)∥b.18.已知e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,则当a∥b时,实数λ=　　　　　. 答案-2 解析∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ(1,0)-(0,1)=(λ,-1).又a∥b,∴2×(-1)-1×λ=0,解得λ=-2.19.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1).若A,C,D三点共线,则实数k=　　　　　. 答案4解析因为AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1),所以AC=AB+BC=(10,k+1).又A,C,D三点共线,所以AC∥CD,所以10×1-2(k+1)=0,解得k=4.20.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是　. 答案(-3,12)∪(12,+∞)解析∵向量a与向量b的夹角是锐角,∴a·b=2m+6>0,即m>-3.当a与b共线时,m2=61,∴m=12,此时a与b同向,夹角为0°.∴实数m的取值范围是(-3,12)∪(12,+∞).21.已知a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y).若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为　　　　　. 答案82解析因为a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).因为(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,所以y=-4.所以向量MN=(y-x,x-y)=(-8,8),|MN|=82.22.设OA=(-2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1a+1b的最小值为　　　　　. 答案3+222解析由题意,得AB=OB-OA=(-a+2,-2),AC=OC-OA=(b+2,-4).又AB∥AC,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,所以1a+1b=12(2a+b)1a+1b=123+2ab+ba≥123+22ab·ba=3+222,当且仅当b=2a时等号成立,即1a+1b的最小值为3+222. 23.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为　　　　　. 答案277,167解析设P(x,y),则DP=(x-1,y),DB=(5,4),CA=(-3,6),DC=(4,0).由B,P,D三点共线可得DP=λDB=(5λ,4λ),λ∈R.又因为CP=DP-DC=(5λ-4,4λ),由CP与CA共线,得(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=47,所以DP=47DB=207,167,所以点P的坐标为277,167.24.平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.当QA·QB取最小值时,求OQ的坐标.解∵点Q在直线OP上,∴OQ∥OP.又OP=(2,1),设OQ=xOP,x∈R,则OQ=(2x,x).∴QA=OA-OQ=(1-2x,7-x),QB=OB-OQ=(5-2x,1-x),∴QA·QB=(1-2x)(5-2x)+(7-x)(1-x)=5x2-20x+12=5(x-2)2-8.∴当x=2时,QA·QB取最小值-8,此时OQ=(4,2).25.设向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=m,m2+sinα,其中λ,m,α为实数,若a=2b,求λm的取值范围.解由a=2b,知λ+2=2m,λ2-cos2α=m+2sinα, ∴λ=2m-2,λ2-m=cos2α+2sinα,又cos2α+2sinα=-sin2α+2sinα+1=-(sinα-1)2+2,∴-2≤cos2α+2sinα≤2,∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,∴14≤m≤2.∵λm=2m-2m=2-2m,∴-6≤2-2m≤1,∴λm的取值范围为[-6,1].26.过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,过A,B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C,D两点.求证:O,C,D三点在一条直线上.证明设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),则OA=(x1,log8x1),OB=(x2,log8x2),根据已知OA与OB共线,所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),所以OC=(x1,log2x1),OD=(x2,log2x2).因为x1log2x2-x2log2x1=x1log23x23-x2log23x13=3(x1log8x2-x2log8x1)=0,所以OC与OD共线,又OC与OD有公共点O,所以O,C,D三点在一条直线上.