苏教版必修第二册课后习题9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示

第2课时　向量数量积的坐标表示1.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于(　　)A.5　　　　　　　B.10C.25D.10答案B解析由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(x+1,-1)=(3,-1),即|a+b|=10.2.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则三角形ABC的形状是(　　)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案A解析由题设知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC=(-6,8),所以AB·AC=2×8+(-4)×4=0,即AB⊥AC.所以∠BAC=90°,故三角形ABC是直角三角形.3.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(　　)A.3B.23C.4D.12答案B解析∵a=(2,0),|b|=1,∴|a|=2,a·b=2×1×cos60°=1.∴|a+2b|=a2+4a·b+4b2=23.4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若四边形OABC是平行四边形,则向量OA与OC的夹角为(　　)A.π3B.π4 C.π6D.π2答案B解析∵四边形OABC是平行四边形,∴OA=CB,即(4,2)=(a-2,8-a),∴a=6.设向量OA与OC的夹角为θ,∵OA=(4,2),OC=(2,6),∴cosθ=OA·OC|OA||OC|=4×2+2×642+22×22+62=22,又θ∈(0,π),∴OA与OC的夹角为π4.5.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=　　　　　. 答案4解析∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4.6.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则实数m=　　　　　. 答案-1解析由题意得ma-b=(m+1,-m),因为a⊥(ma-b),所以1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.7.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m=　　　　　,|a+b|=　　　　　. 答案-2　10解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.所以a+b=(-1,3),所以|a+b|=10.8.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求实数λ的值. 解(1)∵c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c)a=0a=0.(2)∵a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),(a+λb)⊥a,∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=52.9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),(1)求证:AB⊥AD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴AB=(1,1),AD=(-3,3),∴AB·AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD,即AB⊥AD.(2)解∵四边形ABCD为矩形,∴AB=DC.设点C的坐标为(x,y),则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4),∴x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5,∴点C坐标为(0,5).则AC=(-2,4),BD=(-4,2),∴AC·BD=8+8=16,|AC|=25,|BD|=25.设AC与BD的夹角为θ,则cosθ=AC·BD|AC||BD|=1625×25=45,∴矩形的两条对角线所成锐角的余弦值为45.10.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值为(　　)A.865B.-865 C.1665D.-1665答案C解析∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又2a+b=(3,18),∴b=2a+b-2a=(-5,12).∴a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13,设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=165×13=1665.11.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且n·AC=7,则n·BC等于(　　)A.-2B.2C.-2或2D.0答案B解析∵AB+BC=AC,∴BC=AC-AB.∴n·BC=n·AC-n·AB=7-5=2.12.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(　　)A.[2,14]B.[0,12]C.[0,6]D.[2,8]答案A解析如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23x+2, 设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是[2,14].13.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角为(　　)A.-π4B.π6C.π4D.3π4答案C解析∵a=(1,2),b=(1,-1),∴2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ=3×0+932×3=22,又0≤θ≤π,∴θ=π4.14.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是(　　)A.[0,1]B.[-1,1]C.[-3,3]D.[0,3]答案C解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cosθ=3cosθ,∵cosθ∈[-1,1],∴(a-b)·c的取值范围为[-3,3].15.已知O为坐标原点,向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值,则点P的坐标是(　　)A.(-3,1)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案C解析设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时,AP·BP有最小值1. 此时点P的坐标为(3,0).16.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=(sinA,1),q=(1,-cosB)不共线,则p与q的夹角是(　　)A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案A解析因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>π2,即A>π2-B.又因为函数y=sinx在-π2,π2上是增函数,所以sinA>sinπ2-B=cosB,所以p·q=sinA-cosB>0.设p与q的夹角为θ,所以cosθ=p·q|p||q|>0,又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角.17.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(　　)A.|a|=b2B.a·b=0C.|a+b|=(3,1)D.(a-b)⊥b答案AD解析|a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误.a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b)⊥b.故D正确.18.(多选)已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120°,则实数k等于(　　)A.-1+3B.-2C.-1-3D.1答案AC 解析∵ka-b=(k,k+2),∴|ka-b|=k2+(k+2)2.∵a+b=(1,-1),∴|a+b|=12+(-1)2=2,∴(ka-b)·(a+b)=k-k-2=-2.又ka-b与a+b的夹角为120°,∴cos120°=(ka-b)·(a+b)|ka-b||a+b|,即-12=-22×k2+(k+2)2,化简并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±3.故选AC.19.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若c=a-(a·b)b,则|c|=　　　　　. 答案82解析因为a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=82+(-8)2=82.20.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PC·PD=　　　　　. 答案-1解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2), 故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1),所以PC·PD=0×1+1×(-1)=-1.21.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　. 答案(-2,1)解析设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴x-2y=-4,y+2x=-3,∴x=-2,y=1.∴q=(-2,1).22.已知向量OA=(1,7),OB=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=12x上的一点,那么MA·MB的最小值是　　　　　. 答案-8解析设Mx,12x,则MA=1-x,7-12x,MB=5-x,1-12x,MA·MB=(1-x)(5-x)+7-12x1-12x=54(x-4)2-8.所以当x=4时,MA·MB取得最小值-8.23已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　　. 答案5解析如图,以D为原点,DA,DC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a, 则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,当且仅当x=34a时,等号成立.故|PA+3PB|的最小值为5.24.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求AD·CB的值;(2)判断AE·CB的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A75,245,此时AD=-75,-245,CB=(-10,0),所以AD·CB=-75×(-10)+-245×0=14.(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时AE=-75,y-245,所以AE·CB=-75×(-10)+y-245×0=14,为常数,故AE·CB的值是一个常数.25.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解(1)设a=(x,y),因为|a|=5,则x2+y2=5,①又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3), 所以2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0,②由①②解得x=1,y=2或x=-2,y=1,所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为θ,所以cosθ=a·b|a||b|=1×1+2×(-3)1+22×1+(-3)2=-22或cosθ=a·b|a||b|=-2×1+1×(-3)1+22×1+(-3)2=-22,因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=3π4.26.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值.(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当α=π4时,b=22,22,a·b=322,∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·b=t2+32t+5=t+3222+12,∴当t=-322时,|m|取得最小值.(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cosπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|,∵a⊥b,∴a·b=0,∴|a-b|=(a-b)2=6,|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,(a-b)·(a+tb)=5-t,∴5-t6·5+t2=22.∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±352.∴存在t=-5±352满足条件. 27.已知OA=(4,0),OB=(2,23),OC=(1-λ)OA+λOB(λ2≠λ,λ∈R).(1)求OA·OB及OA在OB上的投影向量;(2)证明A,B,C三点共线,且当AB=BC时,求λ的值;(3)求|OC|的最小值.(1)解OA·OB=8,设OA与OB的夹角为θ,则cosθ=OA·OB|OA||OB|=84×4=12,所以OA在OB上的投影向量为|OA|cosθOB|OB|=4×12×OB4=12OB.(2)证明AB=OB-OA=(-2,23),BC=OC-OB=(1-λ)OA-(1-λ)OB=(λ-1)OB-(λ-1)OA=(λ-1)AB,又BC与AB有公共点B,λ2≠λ,所以A,B,C三点共线.当AB=BC时,λ-1=1,所以λ=2.(3)解|OC|2=(1-λ)2|OA|2+2λ(1-λ)OA·OB+λ2|OB|2=16λ2-16λ+16=16λ-122+12,所以当λ=12时,|OC|取最小值23.