苏教版必修第二册课件11.1 余弦定理

第11章11.1余弦定理 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握余弦定理.2.掌握余弦定理的证明过程.3.能够利用余弦定理解决有关问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点余弦定理1.文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和这两边与它们夹角的的两倍.该公式形式侧重求边2.符号语言:(1)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=,c2=.该公式形式侧重求角减去余弦的积c2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC 3.三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.名师点睛应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角. 过关自诊1.在△ABC中,若AB=2,AC=3,A=60°,则BC=.2.已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B=120°,则b=. 答案1或2 重难探究•能力素养全提升 探究点一已知两边及一角解三角形 探究点二已知三边解三角形【例2】(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则C=. 规律方法已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理求出一个角的余弦值,从而求出第一个角;再利用余弦定理求出第二个角的余弦值,从而求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 变式探究 探究点三利用余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,试判断该三角形的形状. 规律方法三角形形状的判断方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.④若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=. 变式训练2在△ABC中,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,则△ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案直角 素养培优余弦定理的另外两种证法证法一(几何法)按照三角形的分类,分三种情形证明.(1)在Rt△ABC中,如图①,满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cosC=0,所以c2=a2+b2-2abcosC;图① (2)在锐角三角形ABC中,如图②,作CD⊥AB于点D,有CD=asinB,BD=acosB,AD=AB-BD=c-acosB,b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB;同理可证:c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA.图② (3)在钝角三角形ABC中,如图③,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC,BD=acos∠CBD=-acos∠ABC,AD=AB+BD=c-acos∠ABC,b2=CD2+AD2=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2=a2+c2-2accos∠ABC.同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,a2=b2+c2-2bccosA.综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.图③ 证法二(解析法)对于任意一个△ABC,建立平面直角坐标系如图④所示,则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcos∠ACB-a)2+(bsin∠ACB)2=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accos∠ABC.图④ 学以致用•随堂检测全达标 答案A 答案C 3.已知△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a=4,b=5,c=6C.a=4,b=6,c=7D.a=3,b=3,c=5答案D 4.在△ABC中,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值等于. 5.在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,解三角形. 本课结束