苏教版必修第二册课后习题10.3 几个三角恒等式

10.3　几个三角恒等式1.将2cos(α-45°)sin(α+45°)化为和的形式为(　　)A.sin2α　　　　　　B.sin2α-1C.sin2α+1D.-sin2α-1答案C2.已知α为第一象限角,且tanα=43,则sinα2的值为(　　)A.55B.-55C.±55D.15答案C解析因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sinα2=1-cosα2=55;当α2是第三象限角时,sinα2=-1-cosα2=-55.故sinα2=±55.3.把cos3α+cos5α化为积的形式,其结果为　　　　　. 答案2cos4αcosα解析cos3α+cos5α=2cos3α+5α2cos5α-3α2=2cos4αcosα.4.计算:sin70°+sin50°sin80°=　　　　　. 答案3解析sin70°+sin50°sin80°=2sin60°cos10°cos10°=3.5.若tanα=17,则1+cos2αsin2α=　　　　　. 答案7 解析因为tanα=sin2α1+cos2α=17,所以1+cos2αsin2α=7.6.设0<β<α<π2,求证:α-β>sinα-sinβ.证明当0<x<π2时,易证sinx<x.∵0<β<α<π2,∴sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2<2sinα-β2<2×α-β2=α-β.即α-β>sinα-sinβ.7.若3π<x<4π,则1+cosx2+1-cosx2=(　　)A.2cosπ4-x2B.-2cosπ4-x2C.2sinπ4-x2D.-2sinπ4-x2答案C解析因为3π<x<4π,所以3π2<x2<2π,所以sinx2<0,cosx2>0.于是1+cosx2+1-cosx2=cosx2+sinx2=cosx2-sinx2=222cosx2-22sinx2=2sinπ4-x2.8.在△ABC中,若sinAsinB=cos2C2,则下列等式中一定成立的是(　　)A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C答案A解析∵cos2C2 =1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cosAcosB-sinAsinB),∴12cosAcosB+12sinAsinB=12.∴cos(A-B)=1.∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B.9.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(　　)A.34B.35C.12D.45答案B解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725.又β=π2-α2,即cosβ=cosπ2-α2=sinα2=1-cosα2=1-7252=35.10.(多选)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是(　　)A.∃x∈R,sin2x2+cos2x2=12B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sinx-sinyC.∀x∈[0,π],1-cos2x2=sinxD.若sinx=cosy,则x+y=π2答案BC 解析因为sin2x2+cos2x2=1≠12,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sinx-siny,所以B为真命题;因为sinx=1-cos2x2,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=π2,y=2π时,sinx=cosy,但x+y≠π2,所以D为假命题.11.化简cos6k+13π+x+cos6k-13π+x(x∈R,k∈Z)的结果为　　　　　. 答案cosx解析cos6k+13π+x+cos6k-13π+x=2cos(6k+13π+x)+(6k-13π+x)2cos(6k+13π+x)-(6k-13π+x)2=2cos(2kπ+x)cosπ3=2×12cosx=cosx.12.若cosxcosy+sinxsiny=12,sin2x+sin2y=23,则sin(x+y)=　　　　　. 答案23解析∵cosxcosy+sinxsiny=12,∴cos(x-y)=12.∵sin2x+sin2y=23,∴2sin(x+y)cos(x-y)=23.∴2sin(x+y)×12=23. ∴sin(x+y)=23.13.已知cosx-π6=m,则cosx+cosx-π3=　　　. 答案3m解析因为cosx+cosx-π3=2cosx-π6·cosπ6=3cosx-π6,所以cosx+cosx-π3=3m.14.已知sinα=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cosβ2的值.解∵0<α<π2,∴cosα=1-sin2α=513.∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π,若0<α+β<π2,∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,∴π2<α+β<π,∴cos(α+β)=-35,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-35×513+45×1213=3365.∵0<β<π2,∴0<β2<π4,∴cosβ2=1+cosβ2=76565.15.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC,①cosA+cosB=-cosC.②和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=-sinC.③ 2cosA+B2cosA-B2=-cosC.④∵当cosA-B2=0时,sinC=cosC=0,不满足题意,∴cosA-B2≠0.③÷④,得tanA+B2=tanC.∴cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos2C.①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12,∴cos2A+cos2B+cos2C=12(1+cos2A+1+cos2B+1+cos2C)=32+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos2C]=32+122cos2C·-12+cos2C=32.即cos2A+cos2B+cos2C=32.