苏教版必修第二册课后习题10.2 二倍角的三角函数

10.2　二倍角的三角函数1.cosπ12-sinπ12cosπ12+sinπ12=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.-32B.-12C.12D.32答案D解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=32,故选D.2.若tanα=3,则sin2αcos2α的值等于(　　)A.2B.3C.4D.6答案D解析sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2tanα=2×3=6.3已知cosθ-π2=45,-π2<θ<π2,则sin2θ的值等于(　　)A.-2425B.2425C.-1225D.1225答案B解析因为cosθ-π2=sinθ=45,-π2<θ<π2,所以cosθ=1-sin2θ=35.所以sin2θ=2sinθcosθ=2×45×35=2425.故选B.4已知sin(π-α)=24,则cos2α=(　　)A.78B.-78C.34D.-34 答案C解析∵sin(π-α)=24=sinα,∴cos2α=1-2sin2α=34.故选C.5.若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan2α=(　　)A.-34B.34C.-43D.43答案B解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα≠0),得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,∴tan2α=2tanα1-tan2α=34.6.已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=cos2α,则cosα=　　　　. 答案55解析由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα.又因为α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=55.7.化简:2sin2α1+cos2α·cos2αcos2α=　　　　　. 答案tan2α解析原式=2sin2α2cos2α·cos2αcos2α=tan2α.8.求下列各式的值: (1)2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α;(2)23tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.解(1)原式=cos2α2tanπ4-αcos2π2-π4-α=cos2α2tanπ4-αcos2π4-α=cos2α2sinπ4-αcosπ4-α=cos2αsin2×π4-2α=cos2αcos2α=1.(2)原式=3tan30°(1-tan215°)+tan215°=3×33(1-tan215°)+tan215°=1.(3)方法一　sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=sin40°cos40°cos80°4sin20°=sin80°cos80°8sin20°=116sin160°sin20°=116.方法二　令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12sin140°=18sin20°sin80°sin40° =18cos10°cos50°cos70°=18y.因为y≠0,所以x=18.所以sin10°sin30°sin50°sin70°=116.9已知tanθ2=23,则1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ的值为(　　)A.23B.-23C.32D.-32答案A解析∵tanθ2=23,∴1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin2θ2+2sinθ2cosθ22cos2θ2+2sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2+cosθ2)2cosθ2(cosθ2+sinθ2)=tanθ2=23.故选A.10.若tanα+π4=-3,则cos2α+2sin2α=(　　)A.95B.1C.-35D.-75答案B解析∵tanα+π4=tanα+11-tanα=-3,∴tanα=2,∴cos2α+2sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α+4sinαcosαcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α+4tanα1+tan2α=-35+85=1. 11.4sin80°-cos10°sin10°=(　　)A.3B.-3C.2D.22-3答案B解析4sin80°-cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10°=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)-cos10°sin10°=-3.12.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=310,则tanα=(　　)A.12B.14C.13D.13或-7答案C解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tanα-7=0,解得tanα=13或tanα=-7.又因为α∈0,π2,所以tanα=13,故选C.13.(多选)下列各式的值为12的是(　　)A.(sin15°-cos15°)2B.tan15°cos215°C.33cos2π12-33sin2π12D.1-cos60°2 答案ACD解析A符合,原式=1-2sin15°cos15°=1-sin30°=1-12=12;B不符合,原式=sin15°cos15°=12sin30°=14;C符合,原式=33·cosπ6=12;D符合,原式=sin30°=12.14.(多选)已知函数f(x)=|sinx||cosx|,则下列说法正确的是(　　)A.f(x)的图象关于直线x=π2对称B.f(x)的周期为π2C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间π4,π2上是增函数答案AB解析因为函数f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12|sin2x|,画出函数图象,如图所示,由图可知,f(x)的图象关于直线x=kπ4(k∈Z)对称,所以直线x=π2是f(x)图象的一条对称轴,A正确;f(x)的最小正周期是π2,所以B正确;f(x)是偶函数,没有对称中心,C错误;由图可知,f(x)=12|sin2x|在区间π4,π2上是减函数,D错误.15.若cos(75°+α)=13,则sin(60°+2α)=　　　　　. 答案79 解析依题意,cos(75°+α)=13,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×132-1=-79,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=79.16.化简:2+2+2cosα(2π<α<3π)=　　　. 答案2sinα4解析∵2π<α<3π,∴π<α2<3π2,π2<α4<3π4.∴2+2+2cosα=2+4cos2α2=2-2cosα2=4sin2α4=2sinα4.17.(2021安徽合肥高一检测)求证:1cos2θ-tanθtan2θ=1.证明1cos2θ-tanθtan2θ=1cos2θ-sinθsin2θcosθcos2θ=cosθ-2sin2θcosθcosθcos2θ=1-2sin2θcos2θ=cos2θcos2θ=1.18.已知sinα+cosα=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2.(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.解(1)由题意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=95,∴sin2α=45,又易知2α∈0,π2,∴cos2α=1-sin22α=35,∴tan2α=sin2αcos2α=43. (2)∵β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-π4=35,∴cosβ-π4=45,∴sin2β-π4=2sinβ-π4·cosβ-π4=2425.又sin2β-π4=-cos2β,∴cos2β=-2425.又2β∈π2,π,∴sin2β=725.又cos2α=1+cos2α2=45,∴cosα=255,∴sinα=55,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=255×-2425-55×725=-11525.19.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E的方向前进30m至点C处,测得顶角A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前进103m到点D,测得顶点A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高.解∵∠ACD=θ+∠BAC=2θ,∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30m.又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ,∴AD=CD=103m,∴在Rt△ADE中,AE=ADsin4θ=103sin4θ,在Rt△ACE中,AE=ACsin2θ=30sin2θ,∴103sin4θ=30sin2θ,即203sin2θcos2θ=30sin2θ, ∴cos2θ=32.又2θ∈0,π2,∴2θ=π6,∴θ=π12,AE=30sinπ6=15m,故θ的大小为π12,建筑物AE的高为15m.