苏教版必修第二册课后习题10.1.2 两角和与差的正弦

10.1.2　两角和与差的正弦1.化简sin16°cos44°+sin74°sin44°的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.32B.-32C.12D.-12答案A解析sin16°cos44°+sin74°sin44°=sin16°cos44°+cos16°sin44°=sin(16°+44°)=sin60°=32,故选A.2.化简:sinx+π3+sinx-π3=(　　)A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx答案B解析sinx+π3+sinx-π3=12sinx+32cosx+12sinx-32cosx=sinx.3.若sinπ6-α=cosπ6+α,则tanα=(　　)A.-1B.0C.12D.1答案A解析由已知得12cosα-32sinα=32cosα-12sinα,因此1-32sinα=3-12cosα,于是tanα=-1.4.已知α∈π,3π2,sinα=-14,β∈3π2,2π,cosβ=45,则α+β为(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案B解析由已知得cosα=-154,sinβ=-35,α+β∈5π2,7π2. 所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=315-420>0,故α+β为第二象限角.5.(2021天津和平高一期末)已知tanA=2tanB,sin(A+B)=14,则sin(A-B)=(　　) A.13B.14C.112D.-112答案C解析由tanA=2tanB得sinAcosA=2sinBcosB,即sinAcosB=2cosAsinB.∵sin(A+B)=14,∴sinAcosB+cosAsinB=14.∴sinAcosB=16,cosAsinB=112.则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=16-112=112.故选C.6.已知a=(2sin35°,2cos35°),b=(cos5°,-sin5°),则a·b=　　　　　. 答案1解析a·b=2sin35°cos5°-2cos35°sin5°=2sin30°=1.7.化简:sin(α-150°)+cos(α-120°)cosα=　　　　. 答案-1解析原式=sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-32sinα-12cosα-12cosα+32sinαcosα=-1.8.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α).解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-32.9.)已知π2<β<α<3π4,若cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,则sin2β=(　　)A.13B.-13C.5665D.-1665答案D解析∵π2<β<α<3π4,∴α-β∈0,π4,α+β∈π,3π2,若cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=513,cos(α+β)=-1-sin2(α+β)=-45,则sin2β=sin[(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)·cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-35×1213--45×513=-1665.故选D.10.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于(　　)A.2+3B.2+32C.2-3D.2-32答案C解析原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=sin(45°-30°)cos(45°-30°)=6-246+24=2-3.11.(多选)下面各式中,正确的是(　　)A.sinπ4+π3=sinπ4cosπ3+32cosπ4 B.cos5π12=22sinπ3-cosπ4cosπ3C.cos-π12=cosπ4cosπ3+64D.cosπ12=cosπ3-cosπ4答案ABC解析∵sinπ4+π3=sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=sinπ4cosπ3+32cosπ4,∴A正确;∵cos5π12=-cos7π12=-cosπ3+π4=22sinπ3-cosπ4cosπ3,∴B正确;∵cos-π12=cosπ4-π3=cosπ4cosπ3+sinπ4sinπ3=cosπ4cosπ3+64,∴C正确;∵cosπ12=cosπ3-π4≠cosπ3-cosπ4,∴D不正确.故选ABC.12.已知sinα+cosα=62,α∈0,π4,则sinα-5π4=　　　　　. 答案12解析sinα-5π4=sinαcos5π4-cosαsin5π4=22cosα-22sinα=22(cosα-sinα).∵(sinα+cosα)2=32,∴2sinαcosα=12,∴(sinα-cosα)2=12,∵α∈0,π4,∴cosα>sinα,∴cosα-sinα=22.∴sinα-5π4=12. 13.若cosα=-13,sinβ=-33,α∈π2,π,β∈3π2,2π,则sin(α+β)的值为　　　　　. 答案539解析∵cosα=-13,α∈π2,π,∴sinα=1-cos2α=223.∵sinβ=-33,β∈3π2,2π,∴cosβ=1-sin2β=63.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=223×63+-13×-33=539.14已知α,β为锐角,cosα=17,cos(α+β)=-1114.(1)求sin(α+β)的值;(2)求sinβ的值.解(1)∵α,β为锐角,cos(α+β)=-1114,∴π2<α+β<π,∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=5314.(2)∵α为锐角,cosα=17,∴sinα=1-cos2α=1-(17) 2=437.∴sinβ=sin[(α+β)-α]=cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β)=17×5314-437×-1114=32.15.已知函数f(x)=sin2x+π6+sin2x-π6+cos2x+a(a∈R,a为常数).(1)求函数f(x)的最小正周期及增区间; (2)当x∈0,π2时,f(x)的最小值为-2,求a的值.解(1)∵f(x)=2sin2xcosπ6+cos2x+a=3sin2x+cos2x+a=2sin2x+π6+a,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,函数f(x)是增函数,故该函数的增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).(2)当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,∴当x=π2时,f(x)取得最小值.∴2sin2×π2+π6+a=-2,∴a=-1.