苏教版必修第二册课后习题10.1.1 两角和与差的余弦

第10章三角恒等变换10.1　两角和与差的三角函数10.1.1　两角和与差的余弦1化简cos16°·cos44°-cos74°sin44°的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.32B.-32C.12D.-12答案C解析cos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12,故选C.2.计算cosπ4+αsinα-cosα的值是(　　)A.2B.-2C.22D.-22答案C解析cosπ4+αsinα-cosα=cosπ4cosα-sinπ4sinαsinα-cosα=22(sinα-cosα)sinα-cosα=22.3.已知sinα=35,α∈0,π2,则cos7π4+α等于(　　)A.425B.7210C.-425D.-7210答案B 解析由题意可知cosα=45,cos7π4+α=cos2π-π4+α=cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=45×22+35×22=7210.4)若α∈(0,π),且cosα+π3=13,则cosα等于(　　)A.1-266B.-1-266C.1+266D.-1+266答案C解析因为α∈(0,π)且cosα+π3=13,所以sinα+π3=223.cosα=cosα+π3-π3=13×12+223×32=1+266.5.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ=　　　　　. 答案0解析由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=45,cosαcosβ+sinαsinβ=-45,两式相加,得2cosαcosβ=0,故cosαcosβ=0.6.若cosθ=-1213,θ∈π,3π2,则cosθ+π4=　　　　　. 答案-7226解析∵cosθ=-1213,θ∈π,3π2,∴sinθ=-513.∴cosθ+π4=cosθcosπ4-sinθsinπ4 =-1213×22+513×22=-7226.7.(2021山东威海高一期末)已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求角β的值.解由α-β∈π2,π,且cos(α-β)=-1213,得sin(α-β)=513.由α+β∈3π2,2π,且cos(α+β)=1213,得sin(α+β)=-513.∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=1213×-1213+-513×513=-1.又α+β∈3π2,2π,α-β∈π2,π,∴2β∈π2,3π2.∴2β=π,则β=π2.8.已知sinα-sinβ=1-32,cosα-cosβ=12,则cos(α-β)的值为(　　)A.12B.32C.34D.1答案B解析因为sinα-sinβ=1-32,所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=74-3.①又因为cosα-cosβ=12,所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=14.②所以①+②得2cos(α-β)=3.所以cos(α-β)=32.故选B. 9已知cosx-π6=-33,则cosx+cosx-π3等于(　　)A.-233B.±233C.-1D.±1答案C解析因为cosx-π6=-33,所以cosx+cosx-π3=cosx+12cosx+32sinx=32cosx+32sinx=332cosx+12sinx=3cosx-π6=-1.故选C.10.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)A.59B.49C.23D.0答案A解析设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,所以小正方形的边长为23,可得cosα-sinα=23,①sinβ-cosβ=23,②由图可得:cosα=sinβ,sinα=cosβ, ①×②可得:49=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=59.11.(多选)下列满足sinαsinβ=cosαcosβ的有(　　)A.α=β=90°B.α=18°,β=72°C.α=130°,β=-40°D.α=140°,β=40°答案BC解析由sinαsinβ=cosαcosβ可得cos(α+β)=0,因此α+β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.12.(多选)若12sinx+32cosx=cos(x+φ),则φ的值可能是(　　)A.-π6B.-π3C.11π6D.π3答案AC解析对比公式特征知,cosφ=32,sinφ=-12,故φ=-π6,11π6都合适.13.(多选)已知α,β,γ∈0,π2,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则下列说法正确的是(　　)A.cos(β-α)=12B.cos(β-α)=-12C.β-α=π3D.β-α=-π3答案AC解析由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.两式分别平方相加,得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=12,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈0,π2,∴sinγ=sinβ-sinα>0,∴β>α,∴β-α=π3,∴C正确,D错误. 14.化简:2cos10°-sin20°cos20°=　　　　　. 答案3解析原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20°cos20°=3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.15.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则sinπ4-β2=　　　　　,cosα+β2=. 答案63　539解析因为0<α<π2,所以π4<π4+α<3π4,又cosπ4+α=13,所以sinπ4+α=223,因为-π2<β<0,所以π4<π4-β2<π2,又cosπ4-β2=33,所以sinπ4-β2=63.于是cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13×33+223×63=539.16.已知向量a=(sinα,5cosα-sinα),b=(cosβ-5sinβ,cosβ),且a·b=2.(1)求cos(α+β)的值;(2)若0<α<π2,0<β<π2,且sinα=1010,求2a+β的值. 解(1)由题意,得a·b=sinα(cosβ-5sinβ)+(5cosα-sinα)cosβ=5cosαcosβ-5sinαsinβ=5cos(α+β),因为a·b=2,所以5cos(α+β)=2,即cos(α+β)=255.(2)因为0<α<π2,sinα=1010,所以cosα=31010.因为0<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<π.因为cos(α+β)=255,所以sin(α+β)=55,所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cosαcos(α+β)-sinαsin(α+β)=22.因为0<α<π2,0<β<π2,所以0<2α+β<3π2,所以2α+β=π4.17.已知函数f(x)=Asinx+π4(x∈R),且f(0)=1.(1)求A的值;(2)若f(α)=-15,α是第二象限角,求cosα.解(1)依题意得f(0)=Asinπ4=22A=1,故A=2.(2)由(1)得f(x)=2sinx+π4,由f(α)=-15可得f(α)=2sinα+π4=-15,则sinα+π4=-210,∵α是第二象限角, ∴2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z),∴2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4(k∈Z),又sinα+π4=-210<0,∴α+π4是第三象限角,∴cosα+π4=-1-sin2(α+π4)=-7210,∴cosα=cos(α+π4)-π4=cosα+π4cosπ4+sinα+π4sinπ4=-7210×22-210×22=-45.