苏教版必修第二册课后习题10.1.3 两角和与差的正切

10.1.3　两角和与差的正切1.已知tanα=12,tanβ=13,且角α,β为锐角,则α+β的值是(　　)A.3π4　　　　　　B.π4或3π4C.π4D.5π4答案C2.在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两根,则tanC等于(　　)A.2B.-2C.4D.-4答案A3已知tanα-3π4=23,则tanα=(　　)A.15B.-15C.5D.-5答案B解析tanα-3π4=tanα-tan3π41+tanα·tan3π4=tanα+11-tanα=23,解得tanα=-15,故选B.4.已知tanα+β+π6=12,tanβ-π6=-13,则tanα+π3的值为(　　)A.22B.57C.15D.1答案D解析tanα+π3=tanα+β+π6-β-π6=12+131+12×(-13)=1. 5.已知A,B都是锐角,且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=　　　　　. 答案π4解析(1+tanA)(1+tanB)=1+tanAtanB+tanA+tanB=2,∴tanAtanB=1-(tanA+tanB).∴tan(A+B)=tanA+tanB1-[1-(tanA+tanB)]=1.∵A,B都是锐角,∴0<A+B<π,∴A+B=π4.6如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b.(1)若b=2a,求tan(α+β)的值;(2)若α+β=γ,求ba的值.解(1)若b=2a,则tanα=23,tanβ=1.所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=23+11-23×1=5.(2)由图可得,tanα=b3a,tanβ=b2a,tanγ=ba,因为α+β=γ,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tanγ,即b3a+b2a1-b3a·b2a=ba,化简,得a2=b2,所以a=b.所以ba的值为1. 7.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan2α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.16B.2213C.322D.1318答案D解析tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(α+β)tan(α-β)=25+141-25×14=1318.8已知α∈3π4,π,且sinαcosα=-25,tan(α+β)=13,则tanβ=(　　)A.1B.7C.1或7D.2或6答案A解析由α∈3π4,π,则-1<tanα<0.由sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=-25,即2tan2α+5tanα+2=0,解得tanα=-12或tanα=-2.所以tanα=-12.tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=13-(-12)1+13×(-12)=1.故选A.9已知tanα-π6=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+π6=(　　)A.1B.2C.3D.4答案A解析因为α-π6+β+π6=α+β,所以tanβ+π6=tan(α+β)-α-π6 =tan(α+β)-tan(α-π6)1+tan(α+β)tan(α-π6)=-3-21+(-3)×2=1.故选A.10.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=33,tan2B=tanAtanC,则角B等于(　　)A.30°B.45°C.120°D.60°答案D解析由公式变形得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=tan(180°-C)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,∴tanA+tanB+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=33.∵tan2B=tanAtanC,∴tan3B=33.∴tanB=3.∴B=60°.故选D.11.(多选)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式正确的是(　　)A.A+B=2CB.tan(A+B)=-3C.tanA=tanBD.cosB=3sinA答案CD解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)=3,∴选项A,B错误;∵tanA+tanB=3(1-tanAtanB)=233,∴tanAtanB=13,① 又tanA+tanB=233,②∴联立①②解得tanA=tanB=33,∴cosB=3sinA,故选项C,D正确.12.已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则tan(α+β)=　　　　　,α+β=　　　　　. 答案-1　3π4解析因为(tanα-1)(tanβ-1)=2,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1.因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.13.已知α,β均为锐角,且tanβ=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.解tanβ=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tanπ4-α,因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2,又因为y=tanx在-π2,π2上是增函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1.14.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的取值范围是　　　. 答案[8,+∞)解析由已知条件sinA=sin(B+C)=2sinBsinC,得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC, ∵-tanA=tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC,∴tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.∴tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC,令tanAtanBtanC=x>0,即x≥22x,即x≥8,或x≤0(舍去),∴x的最小值为8.当且仅当tanB=2+2,tanC=2-2,tanA=4(或tanB,tanC互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.故tanAtanBtanC的取值范围是[8,+∞).