苏教版必修第二册课后习题11.2 正弦定理

11.2　正弦定理1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.46B.45C.43D.223答案A解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,∴A=180°-B-C=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60°sin45°=46.故选A.2.在△ABC中,若a=3,b=3,A=π3,则角C的大小为(　　)A.π6B.π4C.π3D.π2答案D解析由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=3sinπ33=12.因为a>b,所以A>B,所以B=π6,所以C=π-π3-π6=π2.3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　)A.35B.±35C.-35D.±25答案B解析由S=12AB·BCsin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=±35.4.在△ABC中,C=2A,cosA=34,则ca的值为(　　)A.2B.12C.32D.1 答案C解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA=2×34=32.5.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　)A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元答案C解析由已知可求得草皮的面积为S=12×20×30sin150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.6.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是(　　)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案B解析由已知,得asinA=b=bsinB,所以sinB=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.7.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于　　　. 答案63解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1×2232=63.8.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圆半径为3,则边c的长为　　　　. 答案3解析∵S△ABC=12absinC=153,ab=60, ∴sinC=32.故c=2RsinC=3.9.在△ABC中,已知A=60°,c=37a.(1)求sinC的值;(2)当a=7时,求△ABC的面积.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sinC=csinAa=37×32=3314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.10在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B等于(　　)A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对答案C解析∵sinB=bsinAa=42×3243=22,∴B=45°或135°.又a>b,∴B=45°,故选C.11.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于(　　)A.833B.2393C.2633D.23答案B解析由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60°=2393.12.在△ABC中,若3acosC=4csinA,△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　)A.233B.253C.263D.283 答案B解析由3acosC=4csinA,得asinA=4c3cosC.又由正弦定理,得csinC=4c3cosC,∴tanC=34,∴sinC=35.又S=12absinC=10,b=4,sinC=35,∴a=253,故选B.13.在△ABC中,若a=2,b=2,sinB+cosB=2,则角A的大小为　　　　　. 答案30°解析由sinB+cosB=2,得1+sin2B=2,所以sin2B=1,所以B=45°.由正弦定理,得sinA=asinBb=2sin45°2=12.因为a<b,所以A<B,所以A=30°.14.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2A·sinBcosB=sin2B·sinAcosA,即sinAcosB=sinBcosA,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.15.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB,求△ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22.∵C∈(0,π),∴C=π4.∴S=12absinC=12×2RsinA·2RsinB·22 =2R2sinAsinB=2R2sinA22cosA+22sinA=R2(sinAcosA+sin2A)=R212sin2A+1-cos2A2=R222sin2A-π4+12.∵A∈0,34π.∴2A-π4∈-π4,54π,∴sin2A-π4∈-22,1,∴S∈0,2+12R2,∴△ABC面积的最大值为2+12R2.16.)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(1)求角C的大小;(2)求3sinA-cosB+π4的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.解(1)由正弦定理及已知条件得sinCsinA=sinAcosC.因为0<A<π,所以sinA>0,从而sinC=cosC,则C=π4.(2)由(1)知,B=3π4-A,于是3sinA-cosB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6.因为0<A<3π4,所以π6<A+π6<11π12.从而当A+π6=π2,即A=π3时,2sinA+π6取得最大值2. 综上所述,3sinA-cosB+π4的最大值为2,此时A=π3,B=5π12.17.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理,得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2DC=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.