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12正弦定理课时检测(附解析新人教A版必修第二册)

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正弦定理[A级 基础巩固]1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=15°,则c等于(  )A.1           B.C.3D.解析:选C C=180°-30°-15°=135°,c===3.故选C.2.在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B为(  )A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°解析:选B 由正弦定理可知=,∴sinB===,∵B∈(0°,180°),∴B=60°或120°.故选B.3.在△ABC中,若=,则C的值为(  )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:选B 由正弦定理知=,∴=,∴cosC=sinC,∴tanC=1,又∵0°<C<180°,∴C=45°.故选B.4.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:选B 由正弦定理,得=,由a=bsinA,得sinB=1,所以B=,即△ABC为直角三角形.5.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是(  )A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°5 D.a=7,b=5,A=80°解析:选BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sinC==<1,且c>b,所以角C有两解.选项C:因为sinB==<1,且b>a,所以角B有两解.选项D:因为sinB=<1,且b<a,所以角B仅有一解.故选B、C.6.在△ABC中,若A=105°,C=30°,b=1,则c=________.解析:由题意,知B=180°-105°-30°=45°.由正弦定理,得c===.答案:7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=_______,c=________.解析:由正弦定理=,得sinB=·sinA=×=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得7=4+c2-4c×cos60°,即c2-2c-3=0,解得c=3或-1(舍去).答案: 38.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________.解析:在△ABC中,∵sinB=,0<B<π,∴B=或B=π.又∵B+C<π,C=,∴B=,∴A=π--=π.∵=,∴b==1.答案:19.在△ABC中,已知a=10,B=75°,C=60°,试求c及△ABC的外接圆半径R.5 解:∵A+B+C=180°,∴A=180°-75°-60°=45°.由正弦定理,得==2R,∴c===5,∴2R===10,∴R=5.10.在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc.(1)求角A的大小;(2)求的值.解:(1)由题意知,b2=ac,a2-c2=ac-bc,∴cosA===,∵A∈(0,π),∴A=.(2)由b2=ac,得=,∴=sinB·=sinB·=sinA=.[B级 综合运用]11.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶6,则sinB等于(  )A.B.C.D.解析:选A 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶6及正弦定理,得a∶b∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0.由余弦定理的推论得cosB===,则sinB==.12.(多选)在△ABC中,若A>B,则下列不等式中一定正确的是(  )A.sinA>sinBB.cosA<cosBC.sin2A>sin2BD.cos2A<cos2B5 解析:选ABD A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,A正确.由于在(0,π)上,y=cosx单调递减,∴cosA<cosB,B正确.cos2α=1-2sin2α.∵sinA>sinB>0,∴sin2A>sin2B,∴cos2A<cos2B,D正确.13.在△ABC中,B=,BC边上的高AD=BC,且AD=1,则AC=________,sinA=________.解析:如图,由AD=1,B=,知BD=1,又AD=BC=BD,∴DC=2,AC==.由正弦定理知,sin∠BAC==×3=.答案: 14.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,用正弦定理证明:=.证明:如图,设∠BAD=α,∠BDA=β,则∠CAD=α,∠CDA=180°-β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理,得=,=.又因为sin(180°-β)=sinβ,所以=,即=.[C级 拓展探究]15.在正弦定理中,设===k,试探究常数k与△ABC外接圆的半径R的关系.解:k=2R.如图①,当A=90°时,=BC=2R.如图②,当A是锐角时,连接BO并延长交⊙O于点A′.可知∠BAC=∠BA′C.且△BCA′是直角三角形,∴sin∠BAC=sin∠BA′C==,5 ∴==2R.当A是钝角时,如图③可知sinA=sin(180°-A)=sinA′==,∴==2R.故=2R恒成立.同理可证===2R.5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-15 16:00:05 页数:5
价格:¥3 大小:90.00 KB
文章作者:随遇而安

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