苏教版必修第二册课后习题11.3 余弦定理、正弦定理的应用

11.3　余弦定理、正弦定理的应用1.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　)A.6(3+3)m　　　　　B.6(3-3)mC.6(3+23)mD.6(3-23)m答案B解析由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CDsin45°=ADsin(90°-45°)⇒BD=33CD,AD=CD⇒AB=AD+BD=1+33CD=12⇒CD=6(3-3)m,故选B.2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　)A.asinαsinβsin(β-α)B.asinαsinβcos(α-β)C.asinαcosβsin(β-α)D.acosαsinβcos(α-β)答案A解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin(β-α)=ACsinα,∴AC=asinαsin(β-α), ∴AB=ACsinβ=asinαsinβsin(β-α).3.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　) A.8(6+2)nmile/hB.8(6-2)nmile/hC.16(6+2)nmile/hD.16(6-2)nmile/h答案D解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=ABsin45°,即82sin105°=ABsin45°,解得AB=8(6-2),故此船的航速为8(6-2)12=16(6-2)(nmile/h).4.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于(　　)A.217B.2114C.32114D.2128答案B解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=217. 由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=277.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=2114.5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为3海里,则x的值为　　　　　　　. 答案3或23解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即x2+9-2·x·3cos30°=(3)2,即x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h. 答案514解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=202×28=514时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是514h.7.缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向,距小岛A12海里的B处,发现隐藏在小岛A边上的一走私船正开始向小岛A北偏西10°方向行驶,测得其速度为每小时10海里,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin38°≈0.62) 解如图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为每小时x海里,则BC=2x,AC=20.依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=122+202-2×12×20×-12=784,所以BC=28,因为BC=2x,所以x=14.又由正弦定理,得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=20×3228≈0.62.所以∠ABC≈38°.而如图所示的Rt△ADB中,∠ABD=40°.所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.即巡逻艇用每小时14海里的速度向北偏东12°的方向航行.8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=(　　)A.32B.3-1C.2-3D.22答案B解析在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6-2)(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)sin45°50=3-1. 由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故选B.9如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=26,DC=43,则BC的长为(　　)A.43B.5C.65D.7答案A解析在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=26,由正弦定理ABsin∠ADB=BDsin∠A,得sin∠ADB=2×sin60°26=24.因为∠BDC=90°-∠ADB,所以cos∠BDC=sin∠ADB=24.在△BCD中,DC=43,BD=26,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BD•DCcos∠BDC=(26)2+(43)2-2×26×43×24=48,所以BC=43.故选A.10. 如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知△ACD为正三角形.当目标出现在点B时,测得BC=1千米,BD=2千米.(1)若测得∠DBC=π3,求△ABC的面积;(2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内?解(1)在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BD·BCcos∠DBC,∴CD2=1+4-2=3.∵BD2=CD2+BC2,∴∠BCD=π2,∴S△ABC=12AC·BCsin∠ACB=12×3×1×sinπ2+π3=34.(2)设∠CBD=α,∠CDB=β,在△BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosα,由正弦定理得CDsinβ=sinα.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcosβ+π3=9-4cosα-2ADcosβ+23ADsinβ=9-4cosα-2AD1-sin2β+23sinα=9-4cosα-2AD2-sin2α+23sinα=9-4cosα-2(2-cosα)+23sinα=5+4sinα-π6 ≤9,当且仅当α=2π3时,AB取到最大值3,∵3<4,∴目标B在我方炮火射程范围内.11.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1km,求点B,D间的距离.解方法一　在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120°sin30°=3.在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=ACsin60°sin15°=32+62.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2AB·ADcos75°=32+622+3-2×32+62×3cos75°=32+62.即点B,D间的距离为32+62km.方法二　如图,记AD与BC的交点为M. 由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,所以M为AD的中点,所以BA=BD.又AB=ACsin60°sin15°=32+62,所以BD=32+62.所以点B,D间的距离为32+62km.