苏教版必修第二册课后习题9.2.1 第1课时 向量的加法

9.2　向量运算9.2.1　向量的加减法第1课时　向量的加法1.如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.0B.BEC.ADD.CF答案D解析BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CE+EF=CF.2.AB+MB+BO+BC+OM等于(　　)A.BCB.ABC.ACD.AM答案C解析AB+MB+BO+BC+OM=(AB+BO)+(MB+BC)+OM=AO+MC+OM=(AO+OM)+MC=AM+MC=AC.3.若向量a表示向东北方向走5km,向量b表示向西北方向走5km,则向量a+b表示(　　)A.向正北方向走5kmB.向正北方向走52kmC.向正南方向走5kmD.向正南方向走52km答案B 解析由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走52km.4.已知AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d=　　　　　. 答案e解析a+b+c+d=AB+BC+CD+DE=AE=e.5.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则(1)AB+AD+CD=　　　　　; (2)AC+BA+DA=　　　　　. 答案(1)AD　(2)06.在边长为1的等边三角形ABC中,|AB+BC|=　　　　　,|AB+AC|=　　　　　. 答案1　3解析易知|AB+BC|=|AC|=1,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|AB+AC|=|AD|=2|AB|×sin60°=2×1×32=3.7.如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:(1)BC+CE+EA;(2)OE+AB+EA;(3)AB+FE+DC.解(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB. (3)因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,所以FE=BD,所以AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.8.若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,则向量a+b表示(　　)A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行(1+3)km答案B解析如图,易知tanα=33,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2km,故选B.9.若在△ABC中,AB=a,BC=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,则△ABC的形状是(　　)A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案D10.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB=PC,则下列结论正确的是(　　)A.点P在△ABC的内部B.点P在△ABC的边AB上C.点P在AB边所在的直线上D.点P在△ABC的外部答案D解析PA+PB=PC,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外部.故选D. 11.(多选)在▱ABCD中,设AB=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式成立的是(　　)A.a+b=cB.a+d=bC.b+d=aD.|a+b|=|c|答案ABD解析由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,b+d=a不成立.12.(多选)下列说法错误的有(　　)A.若|a|=5,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为10B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同C.若AB+BC+CA=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|答案ACD解析A错误,当a,b,c方向相同时,|a+b+c|取得最大值12;B正确,若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a的方向相同,若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同;C错误,当A,B,C三点共线时,也满足AB+BC+CA=0;D错误,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.13.已知点G是△ABC的重心,则GA+GB+GC=　　　　　. 答案0解析如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则GB+GC=GD,GD+GA=0, 所以GA+GB+GC=0.14.已知三角形ABC是直角三角形且∠A=90°,则下列结论正确的是　　　　　.(填序号) ①|AB+AC|=|BC|;②|AB+CA|=|BC|;③|AB|2+|AC|2=|BC|2.答案①②③解析①正确,以AB,AC为邻边作▱ABDC,如图所示.又∠A=90°,所以▱ABDC为矩形,所以AD=BC,所以|AB+AC|=|AD|=|BC|.②正确,|AB+CA|=|CA+AB|=|CB|=|BC|.③正确,由勾股定理知|AB|2+|AC|2=|BC|2.15.当非零向量OA=a,OB=b(a,b不共线)满足　　　　　时,能使a+b平分∠BOA. 答案|a|=|b|解析若a+b平分∠BOA,则根据平行四边形法则知,可构成菱形,因此|a|=|b|.16.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2km,然后又向西行驶2km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解如图,用AC表示船的第一次位移,用CD表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD=AC+CD, 所以AD可表示两次位移的合位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=12AC=1,AB=3,∠ACB=60°.在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=23,所以两次位移的合位移的方向是南偏西60°,位移的大小为23km.17.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,求证:AD+BE+CF=0.证明由题意知,AD=AC+CD,BE=BC+CE,CF=CB+BF.由平面几何知识可知,EF=CD,BF=FA,所以AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)=(AC+CE+CD+BF)+0=AE+CD+BF=AE+EF+FA=0.18.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin37°≈0.6).解设AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行600km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|;两次位移的和指的是AB+BC=AC.依题意,有|AB|+|BC|=800 +600=1400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,|AC|=|AB|2+|BC|2　=8002+6002=1000(km),因为sin∠BAC=0.6,所以∠BAC≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向约为北偏东72°.19.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且|AB|=|AD|=1,OA+OC=OB+OD=0,cos∠DAB=12.求|DC+BC|与|CD+BC|.解∵OA+OC=OB+OD=0,∴OA=CO,OB=DO.∴四边形ABCD是平行四边形.又|AB|=|AD|=1,∴四边形ABCD为菱形.又cos∠DAB=12,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°.∴△ABD为正三角形.∴|AO|=32.∴|DC+BC|=|AB+AD|=|AC|=2×32=3,|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.