苏教版必修第一册课件8.2 函数与数学模型

第8章8.2.1几个函数模型的比较8.2.2函数的实际应用 课标要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律;2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长速度的比较性质y=ax(a>1)y=xa(a>1)y=xy=xa(0<a<1)y=logax(a>1)在区间(0,+∞)上单调性增函数增函数增函数图象变化趋势增长速度越来越快,呈“爆炸”趋势,逐渐近似与y轴平行增长速度越来越快增长速度不变增长速度越来越慢增长速度越来越慢,逐渐近似与x轴平行增长速度当x足够大时,增函数增函数ax>xa>logax 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=x2比y=2x增长的速度快.()(2)对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上总存在一个x0,当x>x0时,logax<xn.()×√ 2.当x足够大时,下列函数的值最大的是()A.y=exB.y=lnxC.y=x2D.y=e-x答案A解析结合指数函数、对数函数及二次函数的图象变化趋势,可知A正确. 3.“红豆生南国,春来发几枝”,如图所示,给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么下列对红豆的枝数与生长时间的关系拟合最好的函数是()A.y=2tB.y=log2tC.y=t3D.y=2t2 答案A解析根据本题所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数图象特征可得,用指数函数模型拟合最好.故选A. 知识点2常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)(2)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(3)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)(4)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)(5)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)(6)分段函数 名师点睛建立函数模型解决问题的基本过程实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.()(2)函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.()(4)利用函数模型求实际应用问题的最大(小)值时,要特别注意取得最大(小)值时的自变量与实际意义是否相符.()×××√ 2.某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?解设该市年人口自然增长率为x,依题意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)≤lg1.2,即lg(1+x)≤lg1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%. 重难探究•能力素养全提升 探究点一指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例1】函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小. 解(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<6<x2<2021.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(6)<g(6);当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2021)>g(2021).又g(2021)>g(6),∴f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6). 规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数. 变式训练1函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)请指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x). 探究点二函数的实际应用角度1利用已知函数模型解决实际问题【例2】科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg(a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表: 声音来源风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L/分贝10m90求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值. 即I≤105×10-12=10-7.故此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米. 规律方法已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 变式训练2某种商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)和时间t(单位:天)的函数关系为P=(t∈N*).设该商品的日销售量Q(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系为Q=40-t(0<t≤30,t∈N*),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大是第几天.解设日销售金额为y元,则y=PQ, ①当0<t<25且t∈N*时,y=-(t-10)2+900,所以当t=10时,ymax=900.②当25≤t≤30且t∈N*时,y=(t-70)2-900,所以当t=25时,ymax=1125.结合①②得ymax=1125.因此,这种商品日销售额的最大值为1125元,且在第25天时日销售金额达到最大. 角度2自建确定性函数模型解决实际问题【例3】牧场中羊群的最大畜养量为m,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y和实际畜养量x与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;(2)求羊群年增长量的最大值. 规律方法自建模型时主要抓住四个关键:求什么,设什么,列什么,限制什么.求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等. 变式探究若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表示y关于x的函数解析式? 变式训练3有一长为l的钢材,要做成如图所示的窗框:上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,问小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所通过的光线最多?并求出窗户面积的最大值(钢材的宽度忽略不计). 解设小矩形的长为x,宽为y,窗户的面积为S,则由题图可得9x+πx+6y=l,所以6y=l-(9+π)x, 探究点三函数模型的选择问题【例4】(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份为x,产量为 y给出三种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?(1)答案D解析结合各类型函数图象的变化趋势可知,对数型函数符合题设条件,故选D.(2)解由题意知,将产量随时间的变化抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据.①设模拟函数为y=ax+b时,将B,C两点的坐标代入函数式, y=0.1x+1得y=1.4,比实际产量多300双,在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这不符合生产实际.②设模拟函数为y=ax2+bx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,得所以有关系式y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴为直线x=3.5),不合实际. ③设模拟函数为y=abx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,所以有关系式y=-0.8×0.5x+1.4.当把x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如:增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数型函数模型恰好反映了这种趋势.因此选用指数型函数y=-0.8×0.5x+1.4,模拟比较接近客观实际. 规律方法建立函数模型遵循的三个原则 变式训练4某化工厂研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(单位:t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好? 解根据题意可列方程组所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130,g(4)=-80×0.54+140=135.与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用指数型函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好. 本节要点归纳1.知识清单:(1)指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势的比较;(2)函数的实际应用;(3)实际问题中函数模型的选择.2.方法归纳:数形结合、待定系数法.3.常见误区:(1)考查增长速度时忽略自变量所在的区间;(2)实际问题中忽略函数的定义域. 学以致用•随堂检测全达标 1.为配制一种药液,进行了二次稀释,先在容积为40L的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出VL用水补满,搅拌均匀,第二次倒出VL后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的最小值为()A.5B.10C.15D.20答案B 解析第一次稀释后,桶中药液含量为40-V,化简得V2-90V+800≤0,解得10≤V≤80,∴V的最小值为10.故选B. 2.在一次数学实验中,小军同学采集到如下一组数据:x-4-20246y1.011.111.9910.0381.96729.36在以下四个函数模型中,a,b为常数,最能反映x,y间函数关系的是()A.y=ax+bB.y=ax+bC.y=ax2+b 答案B解析将这组数据在平面直角坐标系中绘出(图略),依据散点图以及指数型函数图象的特征,可判断B选项较为准确.故选B. 3.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.已知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是万元.答案2500解析∵每生产一单位产品,成本增加10万元,∴总成本为(2000+10Q)万元. 4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示答案2 5.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(利润与投资的单位:万元).(1)分别求A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使该企业获得最大利润? 本课结束