苏教版必修第一册课件7.2.2 同角三角函数关系

第7章7.2.2同角三角函数关系 课标要求1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tanα;2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1同角三角函数的基本关系分类关系式文字表述平方关系sin2α+cos2α=1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系=(α≠+kπ,k∈Z)同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切tanα 名师点睛1.sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦.2.注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tanα=成立时,α≠+kπ(k∈Z). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.()(3)存在角α,β有sin2α+cos2β=1.()(4)若cosα=0,则sinα=1.()√×√× 2.同角三角关系中的“同角”的含义是什么?提示“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立. 知识点2sinα±cosα与sinαcosα之间的关系1.(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;2.(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√√ 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用同角三角函数的基本关系式求值 规律方法1.已知某些三角函数值求其他三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. 2.已知角α的正切求关于sinα,cosα的齐次式的方法(2)对于asin2α+bsinαcosα+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tanα的式子,从而可以求值. 变式探究 变式训练1(1)已知sinα=,并且α是第二象限角,求cosα和tanα;(2)已知sinα+2cosα=0,求2sinαcosα-cos2α的值. 探究点二sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的联系【例2】已知sinα+cosα=,且0<α<π,求:(1)sinαcosα;(2)cosα-sinα. 规律方法由sinα+cosα,cosα-sinα,sinαcosα三个式子之间的关系可以“知一求二”,两个关系式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,这两个式子是这类问题的常用等式. 变式训练2 探究点三利用同角三角函数关系式化简【例3】化简: 规律方法三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 变式训练3 探究点四利用同角三角关系式证明 规律方法三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异; 变式训练4 本节要点归纳1.知识清单:(1)同角三角函数基本关系;(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明;(3)sinα±cosα型求值问题;(4)齐次式的化切求值.2.方法归纳:整体代换法.3.常见误区:求值时注意α的范围,如果无法确定,一定要对α所在的象限进行分类讨论. 学以致用•随堂检测全达标 答案B 2.下列等式中恒成立的个数为()①sin21=1-cos21;②sin2α+cos2α=sin23+cos23;③sinα=tanαcosα(α≠+kπ,k∈Z).A.1B.2C.3D.0C A.sinαB.cosαC.1+sinαD.1+cosα答案A 答案B 5.若tanθ=-2,求sinθcosθ. 本课结束