湘教版高中数学第2章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.4直线的方向向量与法向量同步练习选择性必修第一册

2.2.4　直线的方向向量与法向量A级必备知识基础练1.(2022山东临沂高二期末)直线l:x+2y-3=0的一个方向向量为(　　)A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)2.(2022吉林长春第二十九中学高二月考)经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是(　　)A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.x-2y+1=0D.x+2y-3=03.若直线l经过点A(-1,4),B(3,2),则直线l的一个法向量n=(　　)A.(1,-2)B.(4,-2)C.(4,2)D.(1,2)4.过点A(2,3),且法向量为向量a=(2,1)的直线方程为(　　)A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=05.已知点P(2,3),Q(5,t)在直线l上,且直线l的一个方向向量是v=(1,2),则t=　. 6.若直线l的倾斜角为,则直线l的一个方向向量d可以是　　　　　(只需填写一个). 7.已知直线m的一个方向向量为v=(3,),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程.(1)过点P(3,-4);(2)与y轴的交点为(0,-3).9,B级关键能力提升练8.已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为(　　)A.-1B.1C.2D.-1或29.(多选题)(2022上海进才中学高二月考)下列说法正确的是(　　)A.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线l的斜率为B.若直线的斜率为,则直线l的一个方向向量为d=(u,v)C.若直线的斜率为k,则直线l的一个方向向量为d=(k,k2)D.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线的一个法向量为t=(-v,u)10.(2022江苏苏州中学高二月考)已知直线l的一个方向向量为u=,且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是(　　)A.直线l的倾斜角等于120°B.直线l与x轴的交点坐标为9,C.直线l与直线y=x+2垂直D.直线l与直线y=-x+2平行11.(2022山西运城教育联盟高二联考)已知△ABC的顶点C的坐标为(1,1),AC所在直线的方向向量为(1,2),AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则A点的坐标为(　　)A.B.C.D.12.若一条直线的斜率为k,则该直线的一个方向向量是　　　　　,一个法向量是　. 13.(2022上海青浦高二期末)已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直线l1的一个法向量恰为直线l2的一个方向向量,则a=　　　　　. 14.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求:(1)AB边所在直线的一个方向向量与一个法向量;(2)AB边的中垂线的一般式方程.9,15.已知直线l:(a2-2a+4)x-ay-3=0.(1)若直线l过点A(1,0),试写出直线l的一个方向向量;(2)若实数a≠0,求直线斜率的取值范围.9,C级学科素养创新练16.(多选题)已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sinα),则实数m的值可以为(　　)A.-1B.0C.2D.39,参考答案2.2.4　直线的方向向量与法向量1.A　由题知,直线l的斜率为k=,设直线l的方向向量为(x,y),则,只有A项满足.2.A　∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2.∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选A.3.D　因为A(-1,4),B(3,2),所以=(4,-2).当n=(1,-2),则·n=4+4=8≠0,不满足;当n=(4,-2),则·n=16+4=20≠0,不满足;当n=(4,2),则·n=16-4=12≠0,不满足;当n=(1,2),则·n=4-4=0,满足.故选D.4.A　设P(x,y)是所求直线上除点A外任一点,则⊥a,∵=(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.5.9　由直线l的一个方向向量是v=(1,2),可知直线的斜率为k=2,因此=2,解得t=9.6.(1,-1)(答案不唯一)　设直线l的一个方向向量d=(x,y),因为直线l的倾斜角为,则直线的斜率k=tan=-1,故=-1.令x=1,则y=-1,故方向向量d可以是(1,-1).7.解(1)∵直线m的一个方向向量为v=(3,),9,∴直线m的斜率为,则直线m的倾斜角为30°,则直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为tan60°=.∵直线l过点P(3,-4),∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=(x-3).(2)由(1)知直线l的斜率为.∵直线l与y轴的交点为(0,-3),∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=(x-0).8.D　由题可得,=-,解得m=-1或m=2.9.BD　u=0时,斜率不存在,故A错误;由方向向量与斜率的关系,可知B正确;若k=0时,方向向量为零向量,故C错误;由于d·t=-uv+uv=0,故D正确.故选BD.10.AD　因为直线l的一个方向向量为u=,则直线l的斜率k==-,则得直线l的倾斜角为120°,故A正确;直线l的方程为y+2=-(x-1),当y=0时,x=1-,即直线l与x轴交于点,故B不正确;直线y=x+2的一个法向量为(,-1),则+(-1)×=-1≠0,即直线l与直线y=x+2不垂直,故C不正确;直线y=-x+2的斜率为-,由A知直线l的斜率为-,则直线l与直线y=-x+2平行,故D正确.9,11.A　设A点的坐标为(x0,y0),AC所在直线的方向向量为(1,2),则AC所在直线的斜率k=,即1×(1-y0)-2(1-x0)=0,整理得y0=2x0-1.所以A(x0,2x0-1),则线段AC的中点坐标为.因为AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则线段AC的中点在直线x+y-1=0上,即+x0-1=0,解得x0=,所以A点的坐标为.12.(1,k)　(k,-1)(答案不唯一)　因为直线的斜率为k,所以它的一个方向向量为(1,k),设直线的一个法向量为(x,y),则(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,则它的一个法向量是(k,-1).13.3　因为直线l1:ax-2y-3=0的一个法向量恰为直线l2:4x+6y-3=0的一个方向向量,所以l1⊥l2.直线l1的一个法向量为(a,-2),直线l2的一个法向量为(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.14.解(1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB边所在直线的一个方向向量是=(3,-3).故AB边所在直线的一个法向量为(3,3).(答案不唯一)(2)设线段AB的中点为M,则点M.设AB边的中垂线的一个方向向量为d,则d⊥.因为=(3,-3),因此取d=(1,1),则中垂线斜率为k=1,则可得中垂线的方程为y-=1×.整理得AB边的中垂线的一般式方程是x-y-2=0.15.解(1)把A(1,0)代入直线l的方程得a2-2a+1=0,解得a=1,此时直线l的方程为3x-y-3=0,故直线l的一个方向向量为(1,3).9,(2)设直线l的斜率为k,因为a≠0,所以直线l的斜率k==a+-2,所以当a>0时,k=a+-2≥2-2=2,当且仅当a=2时,等号成立;当a<0时,k=--2≤-2-2=-6,当且仅当a=-2时,等号成立.综上,直线的斜率的取值范围为(-∞,-6]∪[2,+∞).16.BCD　由题意知直线的斜率一定存在,设直线AB的斜率为k,由A(1,2),B(-2,2m-1)两点知k=,由直线的方向向量为(1,sinα),可得k=sinα.因为-1≤sinα≤1,则k∈[-1,1],即-1≤≤1,解得0≤m≤3.则实数m的值可以为0,2,3,故选BCD.9