2020-2021学年江苏省扬州市某校高二（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知等差数列中，，香，若，则数列的前项和等于()A.香香䁞B.䁞C.D.䁞2.下列函数的最小值为的是()香香A.䁞B.sin䁞䁞䁞䁞sin䁞香香C.䁞D.tan䁞䁞䁞䁞tan䁞3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，香，香香，，则该数列的第香项为()A.香B.香香C.香香香D.香䁞4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于䁞䁞的内接矩形花园（阴影部分），则其边长䁞（单位）的取值范围是()A.香䁞䁃B.香䁃C.香䁞䁞䁃D.䁞䁞䁃5.记为数列的前项和，且㌳香，则的值为香A.B.C.D.香6.已知䁞，条件䁞䁞，条件，若是的充分不必要条件，则实数䁞的取值不可能的是()香A.B.香C.D.㌳7.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是()A.若൐൐，则൐B.若൐䁞㌳൐䁞，则㌳൐䁞试卷第1页，总8页 C.若൐൐，则൐D.若൐൐൐䁞，则൐8.已知是等差数列，下列结论中正确的是()A.若香൐䁞，则൐䁞B.若香䁞，则香䁞C.若䁞香，则൐香D.若香䁞，则㌳香㌳൐䁞二、多选题)9.下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有()A.至少有一个实数䁞，使䁞香䁞B.所有正方形都是矩形香C.䁞，使䁞㌳䁞䁞D.䁞，使䁞䁞䁞10.二次函数䁞䁞图象的一部分如图所示，图象过点㌳䁞，对称轴为䁞㌳香．下面四个结论中正确的是()A.൐B.㌳香C.㌳䁞D.11.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前香䁞项依次是䁞，，，香，香，香香，，，䁞，䁞，，则下列说法正确的是()A.此数列的第䁞项是䁞䁞B.此数列的第香项是香香C.此数列偶数项的通项公式为D.此数列的前项和为㌳香12.已知等差数列的首项为香，公差，前项和为，则下列结论成立的有()A.数列的前香䁞项和为香䁞䁞B.若香，，成等比数列，则香香C.若൐，则的最小值为香香香香D.若香䁞，则的最小值为香试卷第2页，总8页 三、填空题)13.命题“䁞，䁞㌳香൐䁞”的否定是________．香香14.已知正数䁞满足䁞，则的最小值为________.䁞香15.对任意䁞䁞不等式䁞㌳䁞䁞恒成立，则实数的取值范围是________.16.已知数列的前项和为，香香，且㌳香䁞，香香香，记，，若对恒成立，则香的最小值为________．四、解答题)17.命题：实数䁞满足䁞㌳䁞䁞（其中൐䁞），命题：实数䁞满足䁞㌳香，䁞䁞䁞㌳香若香，且命题，均为真命题，求实数䁞的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.已知函数䁞䁞㌳䁞㌳香.䁞香若，试求函数䁞൐䁞的最小值；䁞若不等式䁞൐㌳对于任意䁞䁞恒成立，试求的取值范围．19.在①，；②，；③，香这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为൐香，前项和为，等比数列的公比为，且香香，，且________.香求数列，的通项公式．记，求数列的前项和．䁞20.已知函数䁞，.䁞㌳香香若关于䁞的不等式䁞൐䁞㌳在香有解，求的取值范围；解关于的不等式䁞香.21.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园粷，公园由三个相同的矩形休闲区（如图空白部分所示）和公园人行道组成（如图阴影部分所示）．已知口袋公园粷占地面积为䁞䁞平方米，人行道的宽均为米．试卷第3页，总8页 香若设口袋公园粷的长䁞米；试求休闲区所占地总面积关于䁞的函数䁞的解析式；要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园粷的长和宽如何设计？香22.已知数列的各项均为正数，其前项和.香求数列的通项公式；设log；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求香区间䁞䁞䁞内所有“优化数”的和．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.D3.A4.C5.A6.C7.B8.C二、多选题9.A,C10.A,D11.A,C12.A,B三、填空题13.䁞，䁞㌳香䁞䁞䁞14.香15.㌳㌳䁃香16.四、解答题17.解：香由䁞㌳䁞䁞，得䁞㌳䁞㌳䁞，又因为൐䁞，所以䁞；当香时，香䁞，即为真时，实数䁞的取值范围是香䁞；䁞㌳香，由䁞䁞，䁞㌳㌳香䁞，得䁞㌳或䁞൐，解得：䁞，即为真时，实数䁞的取值范围是䁞；则，均为真命题时，实数䁞的取值范围是.由香知：：䁞，൐䁞，：䁞；䁞，当是的充分不必要条件时，൐，试卷第5页，总8页 解得：香，所以实数的取值范围是香䁃．18.解：香依题意得当，䁞䁞㌳䁞香，䁞䁞㌳䁞香香所以䁞㌳，䁞䁞䁞香因为䁞൐䁞，所以䁞，䁞香当且仅当䁞时，即䁞香时，等号成立．䁞所以㌳㌳．䁞所以当䁞香时，的最小值为㌳.䁞䁞൐㌳在䁞䁞上恒成立，则min䁞൐㌳.①൐时，㌳൐㌳无解；②䁞时，䁞㌳香൐㌳，所以㌳香䁞；③䁞时，㌳㌳香൐㌳，香所以䁞；香综上，的取值范围为：㌳香．19.解：香选①∵，，香香，，൐香，香，∴香香，香香，香，解得或（舍去），，香香香，∴，∴㌳香㌳香，㌳香㌳香.香香∵，㌳香香㌳香∴㌳香㌳香，香香∴香㌳香㌳㌳香香㌳香，香香香香∴香㌳香香㌳㌳香，香香香香香㌳香䁃㌳㌳香香∴试卷第6页，总8页 香香香㌳㌳香䁃香香㌳㌳香香香㌳香㌳，香㌳香∴㌳．20.解：香䁞൐䁞㌳在香有解，䁞即൐䁞㌳在香有解，䁞㌳香因为䁞൐䁞㌳香䁞㌳，所以൐䁞㌳，䁞因为䁞㌳㌳，当且仅当䁞时等号成立，䁞所以൐㌳．䁞䁞香，即香，䁞㌳香㌳香䁞香所以䁞，䁞㌳香可以变形为：㌳香䁞香䁞㌳香䁞且䁞香，香①䁞时，㌳䁞香；㌳香②䁞时，无解；香③䁞香时，香䁞㌳；㌳香④香时，䁞൐香；香⑤൐香时，䁞㌳或䁞൐香.㌳香䁞䁞21.解：香设䁞，则，䁞䁞൐香，由题可得：䁞䁞൐，䁞解得：香䁞䁞，䁞䁞所以䁞㌳䁞㌳香䁞䁞䁞香㌳㌳䁞，香䁞䁞．䁞䁞䁞䁞香㌳㌳䁞䁞䁞䁞香㌳䁞香㌳䁞，䁞䁞䁞当且仅当䁞，即䁞䁞取等号.䁞答：休闲区占地总面积最大时口袋公园粷的长和宽分别为䁞米和香䁞米．试卷第7页，总8页 香22.解：香由数列的前和知：香香香当香时，香香，又因为香൐䁞，所以香香.香㌳香㌳香香当൐香时，㌳㌳香㌳，整理得：㌳香㌳㌳香㌳香䁞，因为㌳香൐䁞，所以㌳㌳香香，所以数列是首项香香，公差香的等差数列，所以香㌳香.由知：loglog，香香数列的前几项和为：香loglogloglog香log香log㌳香，令香，则有log㌳香，即香㌳，由䁞䁞䁞，可知：香䁞且，所以区间䁞䁞䁞内所有“优化数”的和为：㌳㌳㌳㌳香䁞㌳香㌳香香香㌳㌳香香香㌳香香㌳䁞.试卷第8页，总8页