2020-2021学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷
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2020-2021学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若向量=(-4, 2, 1)与向量=(2, x, y)共线,则x-y=()A.-B.-C.D.12.已知过点A(a, 2),B(-1, 4)的直线的斜率为-1,则a=()A.-2B.-1C.1D.23.圆x2+y2=9和圆x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( )A.外离B.相交C.内切D.外切4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中《商功》有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高一丈,问积为粟几何?“,意思是“有粟若干,堆积在平地上,它底圆周长为12丈,高为1丈,问它的体积和粟各为多少?“如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖324钱,一两银子1000钱,则主人卖后可得银子()A.200两B.400两C.432两D.480两5.已知直线a(a-1)x+y-1=0与直线3x+ay+1=0垂直,则实数a=()A.B.0或C.0或D.6.过点A(0, 0),B(2, 2)且圆心在直线y=2x-4上的圆的标准方程为()A.(x-2)2+y2=4B.(x+2)2+y2=4C.(x-4)2+(y-4)2=8D.(x+4)2+(y-4)2=87.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,D1D的中点,则异面直线EF与BD所成的角为()A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘8.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60∘,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE的位置,使得面A1ED⊥面BCDE,则点A1到直线DB的距离为{()试卷第11页,总12页, A.72B.74C.32D.3二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的的0分.)9.若m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若m⊥α,n // α,则m⊥nB.若n⊥α,n // m,则m⊥αC.若m⊥α,m // β,则α⊥βD.若α⊥β,m // α,则m⊥β10.在同一平面直角坐标系中,表示直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的图象可能正确的是()A.B.C.D.11.如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2C,则下述正确的是()A.AB=4B.∠B1CA=45∘C.三棱锥B1-CAD1外接球的半径为试卷第11页,总12页, D.点D到面AB1C的距离为12.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y+m=0,则下列结论正确的是()A.当m=2时,直线l与圆C相交B.P(x1, y1)为圆C上的点,则(x1-1)2+(y1-2)2的最大值为9C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1,则m的取值范围是D.若直线l上存在一点P,圆C上存在两点A、B,使∠APB=90∘,则m的取值范围是[-4, 4]三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.))13.点(1, 1)到直线x+y+1=0的距离为________.14.一个漏斗的上半部分是一个长方体,下半部分是一个四棱锥,两部分的高都为12米,公共的底面是边长为1米的正方形,那么这个漏斗的容积为________米.15.一条光线从点(2, 3)射出,经y轴反射后与圆(x-3)2+(y+2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为________.16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为棱A1C1上的点.且BC1 // 平面AB1D,则=________,已知AB=BC=AA1=1,AC=,以D为球心,以为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为________.四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.如图,在空间四边形OABC中,,点E为AD的中点,设,试卷第11页,总12页, ,.(1)试用向量,,表示向量;(2)若=3,=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60∘,求的值.18.已知C:x2+y2+ax=0过点.(1)求圆C的标准方程及其圆心、半径;(2)若直线分别与x轴,y轴交于M、N两点,点P为圆C上任意一点,求△MNP面积的取值范围.19.从是PB的中点,③G是△PBC的内心三个条件中任选一个条件,补充在下面问题中,并完成解答,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,AB=,AD=2,E,F分别为PC,BD的中点.(1)判断EF与平面PAD的位置关系,并证明你的结论;(2)若G是侧面PBC上的一点,且_____,求三棱锥G-DCE的体积.20.某工厂M(看作一点)位于两高速公路(看作两条直线)OA与OB之间.已知M到高速公路OA的距离是9千米,到高速公路OB的距离是18千米,∠AOB=60∘.以O为坐标原点,以OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.试卷第11页,总12页, (1)求直线OB的方程;(2)现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB,与OA的连接点为C,与OB的连接点为D,且M恰为该路段CD的中点,求CD的长度.21.如图,几何体为圆柱Ω的一半,四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面,点E为圆弧上异于A,B的点,点F为线段ED上的动点.(1)求证:BE⊥AF;(2)若AB=2,AD=1,∠ABE=30∘,且直线CA与平面ABF所成角的正弦值为.求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值.22.在平面直角坐标系xOy中,点A在直线l:y=7x+4上,B(7, 3),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD.(1)求圆C的标准方程;(2)若点A不在第一象限内,圆C与x轴的正半轴的交点为P,过点P作两条直线分别交圆于M,N两点,且两直线的斜率之积为-5,试判断直线MN是否恒过定点,若是,请求出定点的坐标;若不是,请说明理由.试卷第11页,总12页, 参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.D5.C6.A7.C8.A二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的的0分.9.A,B,C10.A,C11.A,D12.A,D三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.14.2315.-或-16.1,四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.∵2=,∴==(-)=(-),故=+=+(-)=+,∵点E为AD的中点,故=(+)=++;试卷第11页,总12页, 由题意得:•=,•=3,•=3,故=-,故•=(++)•(-)=-++•+•-•=-×9+×9+×3×3×cos60∘+×3×2cos60∘-×3×2cos60∘=-.18.由题意,,解得a=-2;∴圆C的方程为,化为标准方程:,圆心为(,0),半径为;由题意得,M(,0),N(0,),∴|MN|=2,圆心C到直线MN的距离d=,∴点P到直线MN的距离的最小值为2-,最大值为2+.∴△MNP的面积的最小值为,最大值为.∴△MNP面积的取值范围是[2-,2+].19.EF与平面PAD平行.证明如下:连接AC,则AC与BD交于F点,在△PAC中,E,F均为中点,∴EF // PA,∵试卷第11页,总12页, EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,∴EF // 平面PAD.选择条件①:∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC,又∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥BC,∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PDC,∵=2,∴G是BC的三等分点,且GC=BC,∵BC=AD=2,∴三棱锥G-DCE的高为GC=,∵PD⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC,在△PDA中,E为BD中点,∴S△CDE==,∴三棱锥G-DCE的体积为:VG-DCE===,选择条件②:∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC,∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥BC,∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PDC,∵G是PB中点,E是PC中点,∴在△PBC中,GEBC,∴三棱锥G-DCE的高为GE=1,∵PD⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC,在△PDC中,E为PC中点,∴S△CDE==,∴三棱锥G-DCE的体积为:VG-DCE===.选择条件③:∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC,∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥BC,∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PDC,设△PBC的内切圆与PC边相切于点H,则GH⊥PC,∵BC⊥平面PCD,PC⊂平面PCD,∴BC⊥PC,∴GH // BC,∴三棱锥G-DCE的高为GH,在Rt△PDC中,PG==2,BC=2,∴PB==2,∴GH==2-,∵PD⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC,在试卷第11页,总12页, △PDC中,E为PC中点,∴S△CDE==,∴三棱锥G-DCE的体积为:VG-DCE===.20.因为∠AOB=60∘,所以直线OB的斜率为k=tan60∘=,所以直线OB的方程为y=x;设M(a, 9),OB的方程为y=x,所以点M到直线x-y=0的距离为:=18,解得a=15或a=-9(不合题意,舍去);所以M(15,9).设C(x1, 0),D(x2, y2),所以M为CD的中点,D在OB上;所以,解得,所以CD试卷第11页,总12页, 的长度为|CD|==36.21.证明:∵四边形ABCD是圆柱的轴截面,∴AB是圆柱底面圆的直径,∴BE⊥AE,∵AD是圆柱的母线,∴AD⊥平面ABE,∴AD⊥BE,又AD∩AE=A,∴BE⊥平面ADE,又AF⊂平面ADE,∴BE⊥AF.∵AB=2,AE⊥BE,∠ABE=30∘,∴AE=1,BE=,以E为原点,以EB,EA及平面ABE的过点E的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示,则C(,0,1),A(0, 1, 0),B(,0,0),E(0, 0, 0),D(0, 1, 1),∴=(-,1,-1),=(,-1,0),=(0, 1, 1),=(0, 1, 0),设=λ=(0, λ, λ),则=-=(0, λ-1, λ),(0≤λ≤1),设平面ABF的法向量为=(x, y, z),则,即,令x=可得=(,3,-3),∴cos<,>==,∵直线CA与平面ABF所成角的正弦值为,∴=试卷第11页,总12页, ,解得λ=,∴=(,3,6),由(1)可知BE⊥平面ADE,∴=(,0,0)为平面ADE的法向量,∴cos<,>===,∴平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为.22.∵BD⊥AD,∴,设D(a, 7a+4),得,得a=0.∴D(0, 4),在△ABD中,AB⊥CD,C为AB的中点,∴|AD|=|BD|,设A(b, 7b+4),则,解得b=1或b=-1.①当b=1时,A(1, 11),2R=|AD|=10,圆心为(4, 7),此时圆的标准方程为(x-4)2+(y-7)2=25;②当b=1时,A(-1, -3),2R=|AD|=10,圆心为(3, 0),此时圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-7)2=25或(x-3)2+y2=25;由题意知,圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.设直线MP试卷第11页,总12页, 的方程为y=k(x-8),联立,得(1+k2)x2-(1+16k2)x+64k2-16=0.∴,得,则M(,),∵两直线的斜率之积为-5,∴用-代替k,可得N(,).当直线MN的斜率存在,即k2≠5时,==.∴直线MN的方程为y-,整理得:y=,可得直线MN过定点();当直线MN的斜率不存在时,即k2=5时,直线MN的方程为x=,过定点().综上可得,直线MN恒过定点().试卷第11页,总12页
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