2020-2021学年山东省临沂市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省临沂市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.椭圆＝的焦点坐标为（）A.B.C.D.2.过点且方向向量为的直线的方程为（）A.香＝B.香＝C.香＝D.香＝3.如图，在正方体ܤܥܤܥ中，ܤܤܥܥA.B.C.ܤܥD.ܤܥ4.若直线൅＝平分圆＝的周长，则൅的值为（）A.B.C.D.5.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为㬀ص，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度ص取Ǥͺ，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A.Ǥ香B.Ǥ香C.Ǥ香D.Ǥ香6.已知两点，ܤ，直线过点且与线段ܤ有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知是圆＝上的一动点，定点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹方程为（）试卷第1页，总10页,A.B.C.D.香香8.在一个平面上，机器人从与点的距离为香的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变．它在行进过程中到过点与ܤ的直线的最近距离为（）A.B.C.香D.二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。)9.下列说法正确的是（）A.直线＝必过定点B.直线＝在轴上的截距为C.直线＝的倾斜角为D.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10.如图，在长方体ܤܥܤܥ中，ܤ＝香，ܥ＝，＝，以直线ܥ，ܥ，ܥܥ分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则（）A.点ܤ的坐标为香B.点关于点ܤ对称的点为香C.点关于直线ܤܥ对称的点为香D.点关于平面ܤܤ对称的点为香11.若圆＝与圆＝的交点为，ܤ，则（）A.公共弦ܤ所在直线方程为＝B.线段ܤ中垂线方程为＝C.公共弦ܤ的长为D.在过，ܤ两点的所有圆中，面积最小的圆是圆12.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入试卷第2页，总10页,仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（）A.B.＝C.D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)13.向量，൅，若与൅共线，则＝________．14.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为________．15.已知圆：＝，从点发出的光线，经直线＝反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为________．16.某圆拱桥的水面跨度为ͺ，拱高ͺ，此拱桥所在圆的半径为ͺ；现有一船，宽ͺ，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过ͺ．四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知直线过定点．（1）若直线与直线香＝垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．18.如图，在棱长为的正方体ܤܥܤܥ中，为线段ܤ的中点，为线段ܤ的中点．（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．试卷第3页，总10页,19.已知直线＝和圆＝．（1）若直线交圆于，ܤ两点，求弦ܤ的长；（2）求过点且与圆相切的直线方程．20.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口ܤ是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射香后集中到另一个焦点．已知ܤ，ܤ，＝．（1）试建立适当的坐标系，求截口ܤ所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗ܥ所在的直线与截口ܤ所在的椭圆交于一点，且＝，求的面积．21.如图，在四棱锥ܤܥ中，平面ܤܥ，ܤ＝ܤܥ＝，ܥ＝＝，ܤ＝ܤ＝，为的中点．（1）求异面直线ܥ与ܤ所成角的余弦值；（2）点在线段ܥ上，当为何值时，直线与平面ܥ所成角的正弦值为？22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆于，ܤ两点．（1）求ܤ的周长；试卷第4页，总10页,（2）椭圆上是否存在点，使得点到直线ͺ＝的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由．试卷第5页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省临沂市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.C3.B4.D5.B6.C7.B8.A二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.A,C,D10.B,C11.A,D12.A,B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.或15.16.如图是圆拱桥的示意图：，设点是拱桥所在圆的圆心，拱桥所在圆的半径为，则ܤ＝，＝，ܤ＝，∴＝＝，在ܤ中，＝，解得：＝，试卷第6页，总10页,所以拱桥所在圆的半径为ͺ，因为＝＝香，所以拱桥所在圆的方程为香＝，由题意可知点ܥ的坐标为香，把点ܥ的横坐标＝香代入圆的方程得：＝，所以此船水面以上最高不能超过ͺ．四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.直线与直线香＝垂直，设直线的方程＝，将定点代入可得＝，解得＝，故直线的方程为＝；①当直线经过原点时，可得直线方程为：，即＝，②当直线不经过原点时，可设直线方程为＝，把点代入可得＝，解得＝，可得直线方程为＝，综上所述：所求的直线方程为：＝或＝．18.以ܥ为原点，ܥ，ܥ，ܥܥ所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，．∴，，，，．∵．∴，∴平面，∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，∴，∴，取＝，则＝，＝，∴，又，∴点到平面的距离为．ͺ设平面的法向量为ͺ，则，ͺ∴，∴，取＝，则＝，∴ͺ，试卷第7页，总10页,ͺ香∴cosͺ，ͺ香∴平面与平面所成锐二面角的余弦值．19.将圆＝化成标准方程：＝，∴圆的圆心，半径＝．∵圆心到直线＝的距离，∴ܤ；①当所要求切线的斜率不存在时，过点的直线为＝，是圆的一条切线；②当所要求切线的斜率存在时，设圆的切线方程为＝㬀，即㬀㬀＝，∵圆心到直线㬀㬀＝的距离为，㬀㬀即，解得：㬀，㬀∴此时切线方程为，化简得＝，综上所述，所要求的切线方程为：＝或＝．20.得：＝，故的面积为：香．21.∵平面ܤܥ，且ܤ，ܥ平面ܤܥ，∴ܤ，ܥ，又∵ܤܥ＝，∴，ܤ，ܥ两两互相垂直．以ܤ，ܥ，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：试卷第8页，总10页,则由ܥ＝＝，ܤ＝ܤ＝，可得，ܤ，，ܥ，，又∵为的中点，∴．∴ܥ，ܤ，ܥܤ所以cosܥܤ，ܥܤ所以异面直线ܥ，ܤ所成角的余弦值为．设＝，则，∴，ܥ，，设平面ܥ的一个法向量为ͺ，ͺܥ则，即，ͺ令＝，解得＝，＝，∴ͺ是平面ܥ的一个法向量．∵直线与平面ܥ所成角的正弦值为，ͺ∴cosͺ香，ͺ香解得，香所以当为时，直线与平面ܥ所成角的正弦值为．22.由椭圆可知，椭圆的长轴长＝，由椭圆的定义可知，＝＝，ܤܤ＝＝，又∵直线过焦点交椭圆与，ܤ两点．∴ܤ的周长为：ܤܤ＝ܤܤ＝ܤܤ＝＝．试卷第9页，总10页,假设椭圆上存在点，使得点到直线ͺ＝的距离最大，则点为平行于直线ͺ的直线与椭圆的切点．设与直线＝平行且与椭圆相切的直线方程为：ͳ＝．ͳ联立，整理得：香ͳͳ＝，∵直线ͳ＝与椭圆相切，∴＝ͳͳ＝，解得：ͳ＝香．当ͳ＝香时，直线与椭圆的切点到直线ͺ的距离最大，且此最大距离也是直线与直线ͺ之间的距离，此时直线的方程为香＝，香直线ͺ＝与直线香＝的距离为：香，香故椭圆上存在点，使得点到直线ͺ＝的距离最大，最大距离为香．试卷第10页，总10页