2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列说法正确的是（）A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.直线的方向向量有且仅有一个2.直线线线h＝的倾斜角是（）A.B.C.D.3.已知香h䁃，香h䁃，香䁞䁃，若，，，四点共面，则＝（）A.B.C.D.4.已知实数，满足线线＝，那么线的最小值为（）A.B.C.D.5.直线线h＝的一个方向向量是（）A.香䁃B.香䁃C.香䁃D.香䁃6.正四面体体中，，分别是，体的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A.B.C.D.7.棱长为h的正方体体hhh体h中，是面hh的中心，则到平面体hh的距离是（）hA.B.C.D.8.已知圆的方程为香䁃线香䁃＝h，过直线ǣ线ݔ＝上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为h，则直线的斜率为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求全部逸对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9.下列叙述正确的有（）试卷第1页，总9页,A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C.若ݔݔ，则D.任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数香݇且h䁃的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知香䁃，香െ䁃，圆：香线䁃线＝香݇䁃上有且仅有一个点满足＝，则的取值可以为（）A.B.C.D.െ11.如图，棱长为h的正方体体hhh体h中，，分别为体体h，h的中点，则（）A.直线与底面体所成的角为hB.平面h与底面体夹角的余弦值为C.直线h与直线的距离为hD.直线h与平面h的距离为12.设有一组圆：香线h䁃线香䁃＝h，下列说法正确的是（）A.这组圆的半径均为hB.直线线＝平分所有的圆C.直线线h＝被圆截得的弦长相等D.存在一个圆与轴和轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)h13.已知，直线的一个方向向量为香ݔh䁃，平面的一个法向量为香h䁃，则实数ݔ的值为________．14.当直线：香݉线h䁃线香݉线h䁃䁞݉＝香݉䁃被圆：香䁃线香h䁃＝截得的弦最短时，实数݉的值为________．15.圆ǣ线线＝与圆ǣ线െ线݉＝恰有四条公切线，则h试卷第2页，总9页,实数݉的取值范围为________．16.如图，正方体体hhh体h的棱长为h，为h的中点，在侧面hh上，若体h，则面积的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.)17.已知香䁃，香䁃，动点到点的距离是它到点的距离的倍．（1）求点的轨迹方程；（2）已知过点香h䁃的直线截（1）中的轨迹的弦长为䁞，求直线的方程．18.如图，圆的直径＝，为圆周上异于，的点，垂直于圆所在平面，＝．（1）求证：；（2）若sin，求平面与平面夹角的余弦值．19.叙述并证明直线与平面垂直的判定定理．20.小岛处东偏南角方向香cos䁃݉的海面处生成一个台风，台风侵袭h的范围为半径݉圆形区域，并以h݉的速度不断增大．该台风以݉的速度向西偏北方向移动．试卷第3页，总9页,（1）h小时后，该台风是否开始侵袭小岛？说明理由；（2）一艘渔船在生成台风െ小时后到达小岛躲避台风，渔船需在小岛停留多长时间才能离开小岛？21.如图所示，在四棱锥体中，侧面体底面体，侧棱＝体，体，底面体为直角梯形，体，体，＝＝h．为体的中点．（1）求证：面体；（2）求直线与平面体所成角的正弦值；（3）求平面与平面体夹角的余弦值．22.平面直角坐标系中，已知点香䁃，圆ǣ线＝与轴的正半轴交于点．（1）若过点的直线h与圆相切，求直线h的方程；（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，．①设直线，的斜率分别是h，，问h线是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；h②设线段的中点为，点香h䁃，若，求直线的方程．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.C5.A6.D7.B8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求全部逸对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.B,D10.A,D11.B,C,D12.A,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.h14.15.香hh䁃16.h四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.17.设香䁃，因为香䁃，香䁃，动点到点的距离是它到点的距离的倍，香线䁃线所以，整理得香䁃线＝䁞．香䁃线∴点的轨迹方程是香䁃线＝䁞．∵过点香h䁃的直线截（1）中的轨迹的弦长为䁞，∴圆心到直线的距离为䁞䁞，设直线的方程为＝香h䁃，即＝，∴圆心香䁃到直线的距离为，线h∴＝，∴直线的方程为＝香h䁃．18.证明：连接，试卷第5页，总9页,∵为圆周上异于，的点，垂直于圆所在平面，∴，，∵＝，∴平面，∵平面，∴．∵圆的直径＝，＝，sin，，∴＝＝，线，∴，∴，∴香䁃h，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，香䁃，香䁃，香h䁃，香h䁃，香䁃，香h䁃，香h䁃，香䁃，设平面的法向量香䁃，则，取＝，得香h䁃，线设平面的法向量݉香ݔ䁃，݉ݔ则，取ݔ＝h，得݉香h䁃，݉设平面与平面夹角为，݉h则cos，݉h∴平面与平面夹角的余弦值为．19.解：定理叙述：若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直．如图，已知：直线，，，ݔ：证求，ݔ，ݔ平面．证明：设是平面内任意一条直线，则只需证ݔ，设直线ݔ是别分量向向方的，，，ݔ，，，，试卷第6页，总9页,只需证ݔ，∵，∴与不共线，直线，，在同一平面内，根据平面向量基本定理存在实数，使得线，则ݔ香ݔ䁃线香ݔ䁃，∵ݔ，ݔ，∴ݔ，ݔ，∴ݔ即，ݔ，所以直线ݔ垂直于平面．20.以为坐标原点，以正东方向为轴，以正北方向为轴，建立直角坐标系．则为第四象限角．䁞∵cos，∴sin，∴的坐标为香cossin䁃，即香hhh䁃，∴香h䁃，∵台风以݉的速度向西偏北方向移动，∴台风与轴正方向成h，设小时后台风中心为香䁃，∴香coshsinh䁃，即香hh䁃，∴线香hh线h䁃，h∴，此时台风的半径＝线h，h线h∴h小时后台风中心香䁞hh䁃，∴香䁞䁃线香hh䁃݇h，即݇，∴h小时后，该台风没有侵袭小岛．若小岛受到台风侵袭，则，∴香h䁃线香h线h䁃线h，化简整理得：െെ，∴香h䁃香䁃，解得：h，即台风生成后h小时到小时之间侵袭小岛，试卷第7页，总9页,∴渔船在小岛停留时间是：െ＝h（小时）．21.证明：在体中＝体，为体中点，∴体，又侧面体底面体，平面体平面体＝体，平面体，∴平面体，∵平面体，∴，∵侧棱＝体，体，∴体线，∵底面体为直角梯形，体，体，＝＝h．为体的中点，∴体，∵体＝，∴面体．以为原点，为轴，体为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则香h䁃，香h䁃，香h䁃，体香h䁃，香hh䁃，香hh䁃，体香hh䁃，设平面体的法向量香䁃，则，取＝h，得香hhh䁃，体设直线与平面体所成角为，则直线与平面体所成角的正弦值为：sin．香hh䁃，香hhh䁃，设平面的法向量݉香ݔ䁃，݉ݔ则，取ݔ＝h，得݉香hh䁃，݉ݔ平面体的法向量香hhh䁃，设平面与平面体夹角为，则平面与平面体夹角的余弦值为：݉cos．݉试卷第8页，总9页,22.当h的斜率不存在时，易得h的方程为＝适合题意；当h的斜率存在时，设hǣ＝香䁃，即线＝，由题设知：圆心到直线h的距离＝，此时hǣ线h＝，线h∴直线h的方程为＝或线h＝；香䁃①ǣ＝香䁃，联立，线可得香h线䁃香䁃线香䁃＝．香䁃香䁃设香hh䁃，香䁃，则h线h线，hh线，h香h䁃线香䁃线∴h线线线线线hhh香䁃香䁃线香h线䁃线h线香െ线䁃h；香䁃香䁃hh香h线䁃线线h线h线h线香䁃②设香䁃，由①知，，代入直线方程，h线香䁃可得，h线由h，得香h䁃线h香线䁃，h化简为h线h线h，把，代入，可得香䁃香䁃香䁃h香䁃线h香䁃线h，解得＝．h线h线h线∴直线的方程为＝香䁃，即＝．试卷第9页，总9页