2020-2021学年山东省枣庄市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省枣庄市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：)1.过点e)和点ᦙ)e的直线的斜率是（）eeA.eB.eC.D.ee2.若向量െ))െ，向量䁞))，且满足向量，则等于()A.െB.െC.䁞D.䁞3.过点െ)䁞，且与直线䁞䁞＝垂直的直线方程为（）A.䁞＝B.䁞e＝C.䁞ᦙ＝D.䁞香＝4.䁞䁞ᦙെ＝的圆心和半径分别为（）A.䁞)，香B.)䁞，香C.)䁞，香D.䁞)䁞，香5.已知直线ǣ䁞＝过定点，点)在直线䁞െ＝上，则的最小值是（）香A.െB.C.D.e香香6.已知直线ǣ＝㐠与曲线ᦙ䁞有两个公共点，则实数㐠的取值范围是（）A.䁞)䁞䁞B.䁞䁞)䁞䁃C.䁞)䁞䁞D.䁞䁞)䁞䁃7.已知正方体ܤܥെܤെെܥെ的棱长为െ，在对角线െܥ上取点，在ܥെ上取点，使得线段平行于对角面െെ，则线段长的最小值为（）䁞eA.䁞B.െC.D.䁞e8.在四面体ܤܥ中，ܤ＝ܤ＝ܥ＝ܥ＝香，＝e，ܤܥ＝，点在平面ܤܥ内，且䁞䁞，设异面直线与ܤܥ所成的角为，则sin的最小值为（）eee䁞A.B.C.D.䁞e䁞二、多项选择题：)9.下列说法正确的是（）െെA.过点െ)െ，䁞)䁞两点的直线方程为䁞െ䁞െB.点)䁞关于直线＝െ的对称点是െ)െC.直线䁞＝与两坐标轴围成的三角形的面积为䁞D.经过点െ)െ且在轴和轴上截距都相等的直线方程为䁞＝10.圆ǣ䁞䁞䁞＝和圆ǣ䁞䁞䁞ᦙ＝的交点为，ܤ，则有（）െ䁞A.公共弦ܤ所在直线方程为＝B.线段ܤ中垂线方程为െ＝试卷第1页，总7页,䁞C.公共弦ܤ的长为䁞䁞D.为圆െ上一动点，则到直线ܤ距离的最大值为െ䁞11.下列说法正确的有（）A.方程䁞＝表示两条直线䁞䁞B.椭圆െ的焦距为ᦙ，则㐠＝ᦙെ㐠㐠䁞䁞䁞C.曲线关于坐标原点对称䁞香䁞D.椭圆ǣ䁞െ的焦距是䁞香12.在正方体ܤܥെܤെെܥെ中，，分别为棱ܤ和棱െ的中点，则下列说法正确的是（）A.ܤെ平面B.平面截正方体所得截面为等腰梯形C.െܥ平面D.异面直线与所成的角为െെ三、填空题：)13.直线eെ＝的倾斜角的大小为________．14.两平行直线െǣeᦙ䁞＝与䁞ǣ香＝之间的距离为________．15.已知直四棱柱ܤܥെܤെെܥെ的棱长均为䁞，ܤܥ＝．以ܥെ为球心，香为半径的球面与侧面ܤെܤെ的交线长为________．16.已知ܤ是圆ǣ䁞䁞＝䁞的一条弦，其长度ܤ，是ܤ的中点，若动点㐵)㐵䁞、㐠)䁞，使得四边形为平行四边形，则实数㐠的最大值为________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.已知三角形ܤ的顶点坐标为െ)香、ܤ䁞)െ、ᦙ)e，是ܤ边上的中点．（1）求ܤ边所在的直线方程；（2）求中线的长．18.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线＝䁞上，且圆与直线െ＝相切于点䁞)െ．（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．19.如图，在四棱锥ܤܥ中，面ܤܥ．＝ܤ＝ܥ＝䁞，四边形ܤܥ满足ܤܥ，ܤܥ，ܤ＝ᦙ，点为中点，点为ܤ边上的动点．试卷第2页，总7页,Ⅰ求证：ܥ平面ܤ．䁞Ⅱ是否存在点，使得二面角ܥܤ的余弦值为？若存在，求出线段ܤ的长e度；若不存在，说明理由．20.如图，平行六面体ܤܥܤܥ中，ܤ＝ܥ＝ܤܥ＝，ܤ＝െെെെെെܥ＝െ＝െ．Ⅰ求െ的长；Ⅱ证明：直线െ平面ܤܥܥെܤെ．21.已知圆的方程为䁞䁞䁞＝െ，点在直线ǣ䁞＝上，过点作圆的切线，ܤ，切点为，ܤ．െⅠ若点的坐标为െ)，求切线，ܤ方程；䁞Ⅱ证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22.已知圆：െ䁞䁞＝െ䁞，点െ)，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．Ⅰ求曲线的方程；Ⅱ若直线ǣ＝㐠与曲线相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省枣庄市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：1.A2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.A二、多项选择题：9.B,C10.A,B,D11.A,C12.ABD三、填空题：香13.െ14.െ䁞15.䁞16.e四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．െ香17.由题意可得直线ܤ的斜率，䁞െ故直线的方程为：香＝െ，化为一般式可得：െെ＝；由中点坐标公式可得ܤ的中点െ)െ，故െെ䁞香െ䁞䁞香．18.过点䁞)െ且与直线െ＝垂直的直线方程为e＝，䁞െ由解得，e䁞所以圆心的坐标为െ)䁞，所以圆的半径为䁞，所以圆的方程为െ䁞䁞䁞＝䁞．因为直线被圆截得的弦长为，䁞所以圆心到直线的距离为䁞，ᦙ䁞若直线的斜率不存在，则为＝，此时，圆心到的距离为െ，不符合题意．若直线的斜率存在，设直线的方程为＝，即＝，䁞䁞由，䁞െ䁞整理得䁞＝，试卷第4页，总7页,解得＝െ或，所以直线的方程为＝或＝．19.（1）因为平面ܤܥ，所以ܥ，ܤ，又ܤܥ，所以，ܤ，ܥ两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则))䁞，ܤ䁞))，ܥ)䁞)，䁞)ᦙ)点为中点，故െ)䁞)െ故ܥെ))െ，又))䁞，ܤ䁞))െെ所以ܥܤ䁞䁞所以ܥ，，ܤ为共面向量，所以ܥ平面ܤ．（2）设䁞))，൏൏ᦙ依题意可知平面ܤܥ的法向量为))䁞，ܥ)䁞)䁞，ܥ䁞)䁞)设平面ܥ的法向量为))，䁞令e＝െ，则)െ)െ．䁞䁞因为二面角ܥܤ的余弦值为，e䁞所以cos)，e䁞䁞即，解得＝െ或＝e．䁞䁞䁞െെe䁞所以存在点符合题意，䁞当ܤ＝െ或ܤ＝e时，二面角ܥܤ的余弦值为．e20.（1）设ܤ，ܥ，െ，则))为空间中的一个基底，且െ因为ܤ＝ܥ＝ܤܥ＝，ܤ＝ܥ＝＝െ，െെെെ所以䁞䁞䁞െ，．䁞试卷第5页，总7页,െ䁞െ䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞．故െ的长为䁞．（2）证明：ܤܥ，ܤܤെ，െܤܥ䁞䁞．െܤܤെ䁞．故െ是平面ܤܥܥെܤെ的法向量，故直线െ平面ܤܥܥെܤെ．21.（1）当切线斜率不存在时，切线方程为＝െ，符合题意；െ当切线斜率存在时，设切线方程为െ，䁞െ即，䁞因为直线和圆相切，e䁞所以െ，䁞െ香香െ解得，此时直线方程为െ，即香െ䁞െെ＝，െ䁞െ䁞䁞所以切线，ܤ方程为：＝െ与香െ䁞െെ＝；െ（2）证明：设点)，)䁞，䁞过，，三点的圆即以为直径的圆，െ䁞െ䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞即，䁞䁞䁞䁞䁞െ䁞䁞െ所以䁞，即䁞െ，䁞䁞ᦙ䁞䁞䁞香令，解得：或，െ䁞䁞䁞香ᦙ䁞∴经过，，三点的圆必过定点，且过的定点坐标为)䁞或)．香香22.（1）∵点在线段的垂直平分线上，∴＝．又䁞e，∴䁞e䁞．∴曲线是以坐标原点为中心，െ)和െ)为焦点，长轴长为䁞e的椭圆．䁞䁞设曲线的方程为െ．䁞䁞∵െ)e，∴䁞＝䁞．䁞䁞∴曲线的方程为െ．e䁞（2）设െ)െ，䁞)䁞．试卷第6页，总7页,㐠联立䁞䁞消去，得e䁞䁞䁞㐠e㐠䁞＝．െe䁞此时有＝䁞䁞䁞ᦙ㐠䁞ᦙ．㐠e㐠䁞由一元二次方程根与系数的关系，得െ䁞e䁞䁞，െ䁞e䁞䁞．㐠e㐠䁞െ䁞∴െ䁞䁞ᦙ䁞ᦙe䁞㐠䁞䁞．e䁞䁞e䁞䁞e䁞䁞㐠∵原点到直线的距离，െ䁞െ∴㐠䁞e䁞㐠䁞䁞．䁞e䁞䁞䁞䁞由，得e㐠䁞．又㐠，由基本不等式，得䁞e䁞㐠䁞e䁞㐠䁞䁞．䁞䁞䁞e䁞䁞当且仅当㐠时，不等式取等号．䁞∴面积的最大值为．䁞试卷第7页，总7页