2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中考试数学试卷

2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.若过点M(-2, m)，N(m, 4)的直线的斜率等于1，则m的值为(    )A.1B.4C.1或3D.1或42.用一个平面去截正方体，则截面不可能是(    )A.等边三角形B.直角三角形C.正方形D.正六边形3.过点M(-3, 2)，且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是(    )A.2x-y+8=0B.x-2y+7=0C.x+2y+4=0D.x+2y-1=04.圆心为(1, 1)且过原点的圆的方程是(    )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=25.若P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为(    )A.95B.185C.2910D.2956.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于(    )A.10cm3 B.20cm3C.30cm3 D.40cm37.若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(    )A.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直B.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面8.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosα, sinα)到直线mx+y-2=0的距离．当α、m变化时，d的最大值为(    )A.1B.2C.3D.49.在矩形ABCD中，若 AB=8, AD=6 ，E为边AD上的一点，DE=13AD ，现将 △ABE 沿直线BE折成 △A'BE ，使得点 A' 在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设直线 试卷第9页，总9页, A'B，A'C 与平面BCDE所成的角分别为α，β，二面角A'-BE-C 的大小为γ，则(    )A.α<β<γB.β<γ<αC.α<γ<β D.β<α<γ10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在平面ABCD内，点Q在线段BN上，若PM=5，则PQ长度的最小值为(    )A.2-1B.2C.35-55D.355二、填空题)11.不论实数m为何值，直线mx-y+2m+1=0恒过定点________.12.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M关于x轴对称的点的坐标为________;|OM→|=________.13.已知直线l1:ax+y-4=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=________；此时直线l1的倾斜角为________．14.已知直线l垂直于平面α，垂足为O，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，若点A在直线l上移动，点B在平面α上移动，则O，C两点间的最大距离为________．15.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为________；M到直线3x+4y-6=0的距离的最小值为________.16.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且BA→⋅BC→=0，若点M的坐标为(3,0)，则|MA→+MB→+MC→|的最大值为试卷第9页，总9页, ________.17.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥P-ABC中，M是PC的中点，且AM⊥PB，底面边长AB=2，则正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________；AM与底面ABC所成角的正弦值为________．三、解答题)18.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设ΔAOB 的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.19.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=2,AB=4,AA1=3，E,F分别是AB,A1D1的中点.(1)求证：直线EF// 平面BB1D1D；(2)求直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值.20.已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)若点P运动到(-2,4)处，求此时切线l的方程；(3)求满足条件|PM|=2|PO| 的点P的轨迹方程.21.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，矩形EDCF⊥平面ABCD，且AB=BC=DE=2,AD=1.(1)求证：AB⊥AE ；(2)求证：DF// 平面ABE:(3)求二面角B-EF-D的正切值.试卷第9页，总9页, 22.在直角坐标系xOy中，直线l:x-3y-4=0交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程；(2)设点N(x0, y0) 为直线 y=-x+3上一动点，若在圆O上存在点P，使得∠ONP=45∘，求x0的取值范围；(3)是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A,B时，恒有∠AMO=∠BMO？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由.试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省宁波市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.B3.D4.D5.C6.B7.A8.C9.A10.C二、填空题11.(-2, 1)12.(-1,-2,-3),1413.1,135∘14.22+215.(x+3)2+y2=1,216.1017.3π,1515三、解答题18.解：(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k，则直线在y轴上的截距为4k+2，要使直线l不经过第四象限，则k≥0,4k+2≥0,故k的取值范围是k≥0.(2)依题意，直线l在x轴上的截距为|-4k+2k|，在y轴上的截距为|4k+2|，且k>0，所以A(-4k+2k,0),B(0,4k+2)，故S=12|OA|×|OB|=2(2k+1)2k=2(4k+1k+4)≥2(4+4)=16，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号，故S的最小值为16，此时直线l的方程为y=12x+4.19.(1)证明：取BD的中点P,连接PE，PD1，试卷第9页，总9页, 由条件E,F分别是AB,A1D1的中点可知，PE//D1F，且PE=D1F，故PEFD1为平行四边形，∴PD1//EF，∵ EF⊄平面BB1D1D,且PD1⊂平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D.(2)∵平面BCC1B1//平面ADD1A1，∴直线EF与平面ADD1A1所成角就是直线EF与平面BCC1B1所成角，∵AB⊥平面ADD1A1，∴EF在平面ADD1A1内的射影为AF，因此∠AFE就是直线EF与平面ADD1A1所成角.在△AEF中， AF=10,AE=2,EF=14，∴sin∠AFE=AEEF=214=147，于是直线EF与平面BCC1B1所成角的正弦值为147.20.解：(1)由圆方程C:x2+y2+2x-4y+m=0，得(x+1)2+(y-2)2=5-m，故圆C的圆心坐标为(-1,2).由于圆C与y轴相切，则5-m=1,得m=4 ，∴圆的半径为1.(2)当过点P(-2,4)的直线斜率k不存在时，此时直线l的方程为x=-2，圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1，所以直线l:x=-2为圆C的切线.当过点P(-2,4)的直线斜率k存在时，设直线方程为y=k(x+2)+4，由直线与圆相切得|k+2|k2+1=1，解得k=-34.此时切线l的方程为y=-34x+52，试卷第9页，总9页, 综上，满足条件的切线l的方程为l:x=-2或y=-34x+52 .(3)设P(x,y)，则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-1，|PO|2=x2+y2，由于|PM|=2|PO|，则(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2)，整理得P的方程为(x-13)2+(y+23)2=179，点P的轨迹是：其圆心为(13,-23)，半径为173的圆.21.(1)证明∵矩形EDCF⊥平面ABCD，且平面EDCF∩平面ABCD=CD，又ED⊥CD，ED⊂平面EDCF，∴ED⊥平面ABCD.又∵AB⊂平面ABCD,∴AB⊥ED，∵AB⊥AD且 AD∩DE=D.∴AB⊥平面ADE．∵AE⊂平面ADE ，∴AB⊥AE .(2)证明：取BC中点M,连接DM,MF,AM,由已知条件易得AMCD及ABMD为平行四边形，于是AM//DC//EF,由于AM=DC=EF，故AMFE为平行四边形.∴MF//AE，∵MF ⊄面ABE,∴MF//平面ABE.又MD//AB ，MD⊄面ABE，∴MD//平面ABE，∴平面DMF//平面ABE.又∵DF⊂平面DMF，∴DF//平面ABE.(3)解：过点B作BH⊥CD，作HK⊥EF，连接BK，由矩形EDCF⊥平面ABCD，得BH⊥平面CDEF，又HK⊥EF，∴BK⊥EF，∴∠BKH就是所求二面角B-EF-D的平面角.在△BKH中，易知HK=2,BH=455，∴tan∠BKH=BHHK=255.故二面角试卷第9页，总9页, B-EF-D的正切值为255.22.解：(1)由直线l:x-3y-4=0得原点到直线的距离为d=41+3=2，故圆的方程为x2+y2=4.(2)过N作圆O的切线，切点为Q，则∠ONQ≥∠ONP=45∘，∴sin∠ONQ=|OQ||ON|≥sin∠ONP=22,∴|ON|≤22.由点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点，得x02+y02=x02+(x0-3)2≤8，解得3-72≤x0≤3+72.(3)存在定点S(1,0)，使得∠AMO=∠BMO恒成立.试卷第9页，总9页, 设直线AB: y=kx+m,设直线AB与圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程y=kx+m，x2+y2=4，消y得，(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0，于是x1+x2=-2km1+k2，x1x2=m2-41+k2，由∠AMO=∠BMO，得kAM+kBM=0，由M(4,0)，故2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0，∴2k×m2-41+k2+(m-4k)(-2km1+k2)-8m=0，化简得m=-k.此时直线AB: y=kx-k，恒过定点S(1,0).当直线AB的斜率不存在时，由圆的对称性知直线过S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.由此存在定点S(1,0)，使得∠AMO=∠BMO恒成立.试卷第9页，总9页