【五年经典推荐 全程方略】2022届高考数学 专项精析精炼 2022年考点41 抛物线（含解析）

考点41抛物线一、选择题1、（2022·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线的准线方程是（）A.B.C.D.【解题提示】将抛物线化为标准形式即可得出。【解析】选A。，所以抛物线的准线方程是y=-1.2.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)(2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则=　(　　)A.B.6C.12D.【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解.【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以m+n=6.AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.3.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)　A.B.C.D.【解题提示】将三角形OAB的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m=(2+),n=(2-),所以m+n=6.所以S△OAB=·(m+n)=.故选D.4.（2022·四川高考理科·Ｔ10）已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）-9-\nA.2B.3C.D.【解题提示】设AB方程：联立结合求出m求的最小值【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.5.（2022·四川高考文科·Ｔ10）与（2022·四川高考理科·Ｔ10）相同已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【解题提示】设AB方程：联立结合求出m求的最小值【解析】选B.可设直线AB的方程为：，点，，又，则直线AB与轴的交点，由，所以，又，因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故，于是-9-\n=，当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是.6.（2022·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点在抛物线的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为【解题提示】由抛物线的定义知的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线的斜率【解析】选Ｄ.根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点．设切点，由题意，在第一象限内．由导数的几何意义可知切线的斜率为，而切线的斜率也可以为又因为切点在曲线上，所以．由上述条件解得．即．从而直线的斜率为．二、填空题7.（2022·湖南高考理科·Ｔ15）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过【解题提示】有正方形的边长给出点C,F的坐标带入抛物线方程求解。-9-\n【解析】由题可得，，则。答案:3.8.（2022·上海高考理科·Ｔ4）【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出p的值，即得抛物线的准线方程.【解析】根据椭圆的右焦点坐标F(2，0)得p=4,所以抛物线的准线方程为x=-2.答案：x=-2.9.（2022·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出a,b之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为，得，渐近线方程为，.答案：10.(2022·陕西高考文科·T11)抛物线y2=4x的准线方程为　　　　.【解题指南】根据抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2可以得到所求准线方程.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.-9-\n答案:x=-1三、解答题11.（2022·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【解题指南】（1）由题意曲线符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点P的坐标表示直线的方程，求出点A，点M的坐标，进而求出圆C的圆心和半径，表示出AB的长，经过计算为定值．【解析】.方法一（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.-9-\n又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.方法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同方法一.PBAMFyx012.（2022·浙江高考文科·Ｔ22）已知的三个顶点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，；（1）若，求点M的坐标；（2）求面积的最大值.【解题提示】（1）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M的坐标；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值．【解析】（1）由题意知焦点，准线方程为-9-\n，设，由抛物线的定义可知，解得，所以，即或由，得或。（2）设直线AB的方程为，，，由得，于是即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）由，得解得，由，得，由△＞0，k＞0得，又因为，点F到直线AB的距离，所以，设，则令=0，解得，于是f（m）在是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，f（m）取得最大值，此时，-9-\n∴△ABP面积的最大值为．13.(2022·陕西高考理科·T20)(本小题满分13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1,C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为32.(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.【解题指南】(1)在C1,C2的方程中,令y=0可得b值,再利用椭圆中a,b,c的关系及离心率求得a值.(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系分别用直线l与C1,C2的方程联立,求得点P,Q的坐标,结合条件AP⊥AQ,求直线l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.设C1的半焦距为c,由ca=32及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为y24+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.　(*)设点P的坐标为(xp,yp),因为直线l过点B,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得xp=k2-4k2+4,从而yp=-8kk2+4,所以点P的坐标为k2-4k2+4,-8kk2+4.同理,由y=k(x-1)(k≠0),y=-x2+1(y≤0),得Q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以AP→=2kk2+4(k,-4),AQ→=-k(1,k+2).因为AP⊥AQ,所以AP→·AQ→=0,即-2k2k2+4[k-4(k+2)]=0,-9-\n因为k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-83.经检验,k=-83符合题意,故直线l的方程为y=-83(x-1).-9-