【五年经典推荐 全程方略】2022届高考数学 专项精析精炼 2022年考点42 抛物线（含解析）

考点42抛物线一、选择题1.（2022·山东高考文科·Ｔ11）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（）(A)　(B)　　(C)　　(D)【解题指南】本题关键利用离心率求出渐近线方程，而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，再利用点到直线的距离公式求出p.【解析】选D.因为双曲线：的离心率为2，所以，所以c=2a，所以，，双曲线的渐近线为，即.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为：所以p=8,所以抛物线的方程为.二、填空题2.（2022·陕西高考文科·Ｔ14）与（2022·陕西高考理科·Ｔ13）相同如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为（），则点（2，-2）在此抛物线上代入可求出抛物线的方程是，当时，，所以，水面宽是米.-6-\n【答案】3.（2022·北京高考理科·Ｔ12）在直角坐标系xOy中.直线过抛物线y2=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A，B两点.其中点A在x轴上方.若直线的倾斜角为60º.则△OAF的面积为.【解题指南】写出直线的方程，再与抛物线方程联立，解出A点坐标，再求面积.【解析】抛物线的焦点，直线.由解得，.所以.【答案】4.（2022·天津高考文科·Ｔ11）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.【解析】由题意可得，解得.【答案】12三、解答题5.（2022·江西高考理科·Ｔ20）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.-6-\n（1）求曲线C的方程.（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为.问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得与PA，PB都相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值.若不存在，说明理由.【解题指南】（1）将各点坐标代入.，化简整理即得曲线C的方程；（2）根据题目中的已知条件用t表示出，探求当之比为常数时，所满足的等式条件，根据条件建立方程或方程组，求得的值.【解析】（1）由，，由已知得，化简得曲线C的方程：.(2)假设存在点满足条件，则直线PA的方程是的方程是曲线C在Q处的切线的方程是它与y轴的交点为.由于，因此.①当时，，存在，使得，②当时，，所以与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是，则又，有，-6-\n又，于是.对任意，要使为常数，即只需满足解得此时，故存在，使得与的面积之比是常数2.6.（2022·新课标全国高考理科·T20）设抛物线的焦点为，准线为，A为C上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若°，的面积为，求的值及圆的方程.（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.【解题指南】（1）由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质表示出的面积，建立等式关系求得p的值，然后由圆心和半径写出圆的方程；（2）由“A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行”这一条件求出直线的斜率，设出直线n的方程，与抛物线方程联立，利用两者只有一个公共点（），可求得直线的方程（方程中含有p），然后根据距离公式求出坐标原点到m，n距离的比值.【解析】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边，点到准线的距离-6-\n所以，圆的方程为.(2)因为A、B、F三点在同一直线上，所以AB为圆F的直径，.由抛物线定义知，所以，的斜率为或.当的斜率为时，由已知可设，代入得由于n与C只有一个公共点，故，解得.因为m的截距，，所以坐标原点到距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到，距离的比值为3.7.（2022·新课标全国高考文科·Ｔ20）设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点.（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程.（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.【解题指南】（1）由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质表示出△ABD的面积，建立等式关系求得p的值，然后由圆心和半径写出圆的方程.（2）由“A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行”这一条件求出直线的斜率，设出直线n的方程，与抛物线方程联立，利用两者只有一个公共点（），可求得直线的方程（方程中含有p），然后利用距离公式求出坐标原点到m，n距离的比值.-6-\n【解析】（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边，点到准线的距离，所以，圆的方程为.(2)因为A，B，F三点在同一直线上，所以AB为圆F的直径，.由抛物线定义知，所以，的斜率为或.当的斜率为时，由已知可设，代入得由于n与C只有一个公共点，故.解得.因为m的截距，，所以坐标原点到距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到，距离的比值为3.综上可得坐标原点到m，n距离的比值为3.-6-