【五年经典推荐 全程方略】2022届高考数学 专项精析精炼 2022年考点53 不等式选讲（含解析）

考点53不等式选讲一、选择题1.（2022·安徽高考文科·Ｔ9）与（2022·安徽高考理科·Ｔ9）相同若函数的最小值为3，则实数的值为（）A.5或8B.或5C.或D.或8【解题提示】以a为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。【解析】选D.（1）当a<2时，；（2）当a>2时，，由（1）（2）可得，解得a=-4或8。二、填空题2.（2022·湖南高考理科·Ｔ13）若关于的不等式的解集为，则【解题提示】求解绝对值不等式。【解析】由得到，，又知道解集为所以。答案：3.(2022·广东高考理科)不等式+≥5的解集为　　　　　　.【解析】方法一:由得x≤-3;-4-\n由无解;由得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}.【误区警示】易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.4.(2022·陕西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为　　　　　　　.【解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,即5(m2+n2)≥25,(m2+n2)≥5,所以的最小值为.答案:5.(2022·江西高考文科·T15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为　　　　.【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,-4-\n所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.答案:[0,2]三、解答题6.(2022·福建高考理科·Ｔ21)不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为．(1)求的值；(2)若是正实数，且满足，求证：．【解析】(1)∵，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为；…………………………………………………3分(2)由(1)知，又是正实数，∴，即.……………………………………………………………7分7.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=+(a>0)(1)证明:f≥2.(2)若f<5,求a的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.【解析】(1)由a＞0，有f（x）=+|x-a|≥=+a≥2.所以f(x)≥2.（2）f(3)=+|3-a|.当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.-4-\n当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.综上，a的取值范围是.8.(2022·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=+(a>0)(1)证明:f≥2.(2)若f<5,求a的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.【解析】(1)由a＞0，有f（x）=+|x-a|≥=+a≥2.所以f(x)≥2.（2）f(3)=+|3-a|.当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.综上，a的取值范围是.-4-