【五年经典推荐 全程方略】2022届高考数学 专项精析精炼 2022年考点55 不等式选讲（含解析）

考点55不等式选讲一、选择题1.（2022·安徽高考理科·Ｔ4）“a≤0”“是函数在区间内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】画出函数的简图，数形结合判断。【解析】选C.由函数在区间内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项C正确。二、填空题2.（2022·陕西高考理科·Ｔ15）已知a,b,m,n均为正数,且a＋b＝1,mn＝2,则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为.【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】,且仅当时取最小值2.【答案】2.3.（2022·陕西高考文科·Ｔ15）设a,b∈R,|a－b|>2,则关于实数x的不等式的解集是.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识表示数轴上某点到a，b的距离之和即可得解.【解析】函数的值域为：.所以，不等式的解集为R。【答案】R.4.（2022·江西高考理科·Ｔ15）在实数范围内，不等式的解集为___________.-8-\n【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义，等价于，即，即.【答案】.5.（2022·重庆高考理科·Ｔ16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是【解题指南】利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式无解，即因为,所以【答案】.6.（2022·湖北高考理科·Ｔ13）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x，y，z的值。【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），当且仅当时取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z=【答案】.7.（2022·湖南高考理科·Ｔ10）已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为　　　　.【解题指南】本题是利用柯西不等式求最值【解析】因为，所以【答案】12.三、解答题-8-\n8.（2022·辽宁高考文科·Ｔ24）与（2022·辽宁高考理科·Ｔ24）相同已知函数当时，求不等式的解集；已知关于的不等式的解集为，求的值。【解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.【解析】当时，当时，由；当时，由，不成立；当时，由；综上，所以，当时，不等式的解集为记则由得，即由已知不等式的解集为亦即的解集为所以解得24.9.（2022·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ24）与（2022·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同-8-\n已知函数,（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设,且当)时，,求的取值范围.【解析】当时，不等式化为.设函数，则其图象如图所示，从图象可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是.（Ⅱ）当时，.不等式化为.所以对都成立，故，即.从而的取值范围为10.（2022·湖南高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”-8-\n.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理.【解析】设点P的坐标为(x,y),(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,　(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24.　(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立,d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.-8-\n综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.11.（2022·安徽高考理科·Ｔ20）设函数，证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对任意，由（1）中构成的数列满足。【解题指南】（1）利用导数证明在内单调递增，证明在内有零点；（2）利用（1）得的递减函数，联立与得的关系式，适当放缩证明。【解析】（1）对每个，当x>0时，内单调递增，由于，当，又=，所以存在唯一的满足。（2）当x>0时，，故由内单调递增知，为单调递减数列，从而对任意，，对任意，由于①②①式减去②式并移项，利用得-8-\n，因此，对任意，都有。12.（2022·福建高考理科·Ｔ21）设不等式的解集为A,且（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求函数的最小值【解析】（Ⅰ）因为，且，所以，且解得，又因为，所以（Ⅱ）因为当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.13..（2022·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ24）与（2022·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ24）相同设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）（2）【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.(2)证，也即证可分别证然后相加即得.【解析】（1）由得由题设得即所以，即当且仅当“”时等号成立。-8-\n（2）因为当且仅当“”时等号成立.故，即所以.-8-