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【学海导航】2022版高考数学一轮总复习 第51讲 空间角及其计算同步测控 理

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第51讲 空间角及其计算               1.已知二面角α-l-β的大小为60°,m、n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m、n所成的角是(  )A.30°B.60°C.90°D.120° 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(  )A.B.C.D. 3.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值是(  )A.B.C.D. 4.(2022·四川卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是__________. 5.直线l与平面α成角为30°,l∩α=A,m⊂α,A∉m,则m与l所成角的取值范围是______________. 6.(2022·大纲卷)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______________. 7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点.设GF、C1E与AB所成的角分别为α,β,求α+β.6\n 8.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β,则α+β的范围是______________. 9.如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,正确的__________.(填写所有正确命题的序号)①O-ABC是正三棱锥;②直线OB∥平面ACD;③直线AD与直线OB所成的角是45°;④二面角D-OB-A为45°.10.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,其中AB=,BD=BC=1,AA1=2,E为DC的中点,F是棱DD1上的动点.(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值;(2)当DF为何值时,EF与BC1所成的角为90°?6\n6\n6\n第51讲1.B 2.D 3.B 4.90° 5.[30°,90°] 6.7.解析:建立空间直角坐标系如图.设正方体的棱长为2.则B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),C1(0,0,2),E(1,2,1).则=(0,2,0),=(1,1,-1),=(1,2,-1),所以cos〈,〉=,cos〈,〉=,所以cosα=,cosβ=,sinβ=,所以α+β=90°.8.[0°,90°]解析:当直线与二面角的棱平行时,α=β=0°;当直线与二面角的一个面垂直时,α+β=90°;当直线与二面角的两个面都相交时,设A、B分别为平面M、N内任一点,过A、B分别作AC⊥l,BD⊥l(l为二面角的棱),垂足为C、D,则∠BAD=α,∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°.又因为α+β>0°,所以α+β∈(0°,90°];综上,α+β∈[0°,90°].9.①③④ 解析:把该正四面体放入正方体中,如图,易知②错误.简证:假设OB∥平面ACD,又正方体中OB∥AE,又AE∩平面ACD=A,故AE⊂平面ACD.但很明显AE不存在平面ACD中,矛盾,故假设错误,故②错.10.解析:方法1:(1)连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD1∥BC1,则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.⇒BE⊥侧面DCC1D1⇒BE⊥EC1.在Rt△BEC1中,BE==,6\nEC1==,所以tan∠EBC1==3.(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.由(1)知,BE⊥侧面DCC1D1⇒BE⊥EF.又DE=EC=,CC1=AA1=2.当DF=时,因为==,==,所以△DEF∽△CC1E,所以∠DEF+∠CEC1=90°,所以∠FEC1=90°,即FE⊥EC1.又EB∩EC1=E,所以EF⊥平面BEC1,所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.方法2:由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC,分别以BC、BD、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则B(0,0,0),A(-1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,2),C(1,0,0),C1(1,0,2),E(,,0).(1)因为=(1,0,2),=(,,0),所以cos〈,〉===,所以sin〈,〉=,所以tan〈,〉=3,即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(0,1,q),则=(-,,q).又=(1,0,2),由·=(-)×1+0×+q·2=0,得q=,即DF=时,EF⊥BC1.6

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发布时间:2022-08-26 00:25:37 页数:6
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文章作者:U-336598

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