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【学海导航】2022版高考数学一轮总复习 第52讲 空间距离及其计算、折叠问题同步测控 理

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第52讲 空间距离及其计算、折叠问题               1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为(  )A.aB.aC.aD.a 2.(2022·大纲卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为(  )A.2  B.C.  D.1 3.将一内角为60°,边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成90°的二面角后,A、C两点间的距离为(  )A.aB.aC.D.a 4.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量n=(2,-2,1),已知P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于(  )A.4B.2C.3D.1 5.(2022·辽宁卷)已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为______________. 6.如图,边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有____________.(只需填上正确命题的序号)①动点A′在平面ABC上的射影落在线段AF上;②三棱锥A′-FED的体积有最大值;③恒有平面A′GF⊥平面BCED;④异面直线A′E与BD不可能互相垂直;⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是(0,]. 7.如图,正方体的棱长为1,C、D、M分别为三条棱的中点,A、B是顶点,求点M到截面ABCD的距离.5\n 8.已知A(-1,0),B(2,1),C(1,-1),若坐标平面沿x轴折成直二面角,则折后∠BAC的余弦值为________. 9.二面角α-a-β的平面角为120°,在平面α内,AB⊥a于B,AB=2;在平面β内,CD⊥a于D,CD=3,BD=1,M是棱a上的一个动点,则AM+CM的最小值为________.10.如图,已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形(如图①).将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②).(1)证明:AC⊥BO1;(2)求二面角O—AC—O1的正弦值.5\n5\n第52讲1.C 2.D 3.D 4.B 5. 6.①②③④7.解析:设点M到截面ABCD的距离为h.连接AC、AM,作CF⊥AB,垂足为F,连接CM.VC—ABM=S△ABM·CM=××1=.又VM—ABC=··AB·CF·h=××××h=,故由VC—ABM=VM—ABC,得=,所以h=.8. 解析:作CM⊥x轴于M,折后可知CM⊥BM.因为AC=,BM=,所BC=.又因为AB=,所以cos∠BAC==.9. 解析:将二面角α-a-β展成平面,将AM+CM转化为平面上的距离,则AM+CM的最小值为AC,易求得AC=.10.解析:方法1:(1)证明:由题设知,OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.从而AO⊥平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影.因为tan∠OO1B==,tan∠O1OC==,所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而OC⊥BO1,由线面垂直得AC⊥BO1.(2)由(1)知,AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得AC⊥O1F,所以∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知,OA=3,OO1=,O1C=1,所以O1A==2,AC==,5\n从而O1F==.又O1E=OO1·sin30°=,所以sin∠O1FE==.方法2:(1)证明:由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如右图.则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,).从而=(-3,1,),=(0,-3,),故·=-3+×=0,所以AC⊥BO1.(2)因为·=-3+×=0,所以BO1⊥OC.由(1)知AC⊥BO1,AC∩OC=C,所以BO1⊥平面OAC,所以是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量,由,得,取z=,得n=(1,0,).设二面角O—AC—O1的大小为θ,由n、的方向可知θ=〈n,〉,所以cosθ=cos〈n,〉===,则sinθ=.即二面角O—AC—O1的正弦值为.5

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发布时间:2022-08-26 00:25:36 页数:5
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文章作者:U-336598

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