【师说 高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学 1.2直线与圆的位置关系（含解析）

【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学1.2直线与圆的位置关系一、填空题1．如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝__________.解析：∵AP＝PB，∴OP⊥AB.又∵∠OAP＝30°，∴AP＝a.由相交弦定理，得CP·PD＝AP2.于是CP＝＝a2×＝a.答案：a2．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为__________．解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.∵＝，＝，∴＝.∴＝.答案：3．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝__________；CE＝__________.6\n解析：由圆的割线定理知：AB·AC＝AD·AE，可得AE＝8，DE＝5.连接EB，∵∠EDB＝90°，∴EB为直径．∴∠ECB＝90°.由勾股定理，得CE2＝AE2－BC2＝28∴CE＝2.答案：5　24．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．若PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为__________．解析：由切割线定理知PT2＝PA·PB，得PB＝＝8.故弦AB的长为PB－PA＝8－2＝6.答案：65．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，若以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝__________.解析：∵∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线．∴BC2＝BD·BA.即16＝BD·5.解得BD＝.从而DA＝BA－BD＝5－＝.故＝.答案：6．如图，已知⊙O的直径AB＝5，C为圆周上一点，BC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝______.解析：易得△BCA为直角三角形，且∠BCA＝90°，∴AC＝＝＝3.又∠DCA＝∠CBA，6\n∴Rt△BCA∽Rt△CDA，∴＝，∴CD＝＝＝.答案：7．如图，⊙O的直径AB＝6，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，则PC＝______.解析：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CPA＝30°，OC＝AB＝3，∴tan30°＝.∴PC＝3.答案：38．如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为__________．解析：如图，连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵EF切⊙O于C，∴∠DCA＝∠B.∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°.∴△ABC∽△ACD.∴＝.6\n∴AC2＝AD·AB＝2×6＝12.∴AC＝2.答案：29．如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为__________．解析：如图，作OE⊥BC于E，连接OB.由勾股定理得BE＝＝＝1，由垂径定理得BC＝2BE＝2.由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×(3＋2)＝15.∴AD＝.答案：二、解答题10．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)求证：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解析：(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝.即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.6\n11．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG.(1)求证：C是的中点；(2)求证：BF＝FG.证明：(1)∵CF＝FG，∴∠BGC＝∠ACE.∵AB是⊙O的直径，∴∠GCB＝90°.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴∠CBG＝90°－∠BGC，∠EAG＝90°－∠ACE.∴∠CBG(D)＝∠EAG(C)．∴＝.∴C是的中点．(2)∵∠ECB＝90°－∠ECA，∠EAC＝90°－∠ECA，∴∠ECB＝∠EAC.又∵由(1)知，∠CBG(D)＝∠EAG(C)，∴∠E(F)CB＝∠CBF(G)．∴CF＝BF.又∵CF＝FG，∴BF＝FG.12．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解析：(1)证明：连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.6\n因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝×(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.6