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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第3节 等比数列(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第3节 等比数列(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第3节等比数列北师大版一、选择题1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( )A.64B.81C.128D.243[答案] A[解析] 设数列{an}的公比为q,则q==2,∴由a1+a1q=3得a1=1,∴a7=1×27-1=64.2.(文)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a,a2=2,则a1=( )A.2B.C.D.[答案] B[解析] ∵a3·a9=(a6)2=2a,∴()2=2,又{an}的公比为正数,∴q==.∴a1==.(理)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A.5B.7C.6D.4[答案] A[解析] ∵{an}为正项等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,且a4a5a6>0,∴a4a5a6==5,故选A.3.在等比数列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,则=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3[答案] A[解析] 由a2a6=16,得a=16⇒a4=±4,又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8,-8-\n∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,=q10=1.4.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2[答案] C[解析] 由a5·a2n-5=22n(n≥3),得a=22n,∵an>0,∴an=2n.易得结论.5.(文)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想.a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8⇒a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,a4=4,a7=-2⇔a1=-8,a10=1⇔a1+a10=-7,a4=-2,a7=4⇒a10=-8,a1=1⇔a1+a10=-7.(理)(2022·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{an}的奇数项的前n项和为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 依题意,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;当n=1时,a1=S1=2-1=1,an=2n-1也适合a1.因此,an=2n-1,=2,数列{an}是等比数列.数列{an}的奇数项的前n项和为=.6.等比数列{an}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有an+1>an”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件-8-\nD.既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 易知,当a1>0且q>1时,an>0,所以=q>1,表明an+1>an;若对任意自然数n,都有an+1>an成立,当an>0时,同除an得q>1,但当an<0时,同除an得0<q<1.也可举反例,如an=-.二、填空题7.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1-2an=0,则S5=________.[答案] 11 [解析] 本题考查了等比数列通项公式,求和公式等,设{an}公比为q,则an+2+an+1-2an=a1qn+1+a1qn-2a1qn-1=0,所以q2+q-2=0,即q=-2,q=1(舍去),∴S5==11.8.在等比数列{an}中,已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a+a+…+a等于________.[答案] (4n-1)[解析] 由a1+a2+a3+…+an=2n-1,∴a1=1,a2=2,q=2又∵{an}是等比数列∴{a}也是等比数列,首项为1,公比为4∴a+a+…+a==(4n-1).9.(文)(2022·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.[答案] 5[解析] 本题考查等比中项及对数的运算.∵an>0,a1a5=4,{an}为等比数列,∴a=4,∴a3=2.∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5-8-\n=log2(a1a2a3a4a5)=log2a=log225=5.(理)(2022·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.[答案] 50[解析] ∵a10a11+a9a12=2e5,∴a1·a20=e5.又∵lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]=ln(e5)10=lne50=50.注意等比数列性质:若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,对数的性质logamn=nlogam.三、解答题10.(文)(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.[解析] (1)∵Sn=(n∈N*)∴Sn-1=(n≥2)∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1==3n-2当n=1时,a1=S1==1,也符合上式∴an=3n-2,(n∈N*)(2)要使a1,an,am成等比数列,只需a=a1.am即(3n-2)2=1·(3m-2)即m=3n2-4n+2,∵n>1,∴3n2-4n+2>1,而此时,m∈N*,且m>n∴对任意的n>1,都存在m∈N*,使a,an,am成等比数列.(理)(2022·江西高考)已知首项都是1的两个数列{an}、{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.[解析] (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2.-8-\n所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1.∴数列{an}前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1.∴3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n.相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n.所以Sn=(n-1)3n+1.一、选择题1.(文)在正项等比数列{an}中,若a2·a4·a6·a8·a10=32,则log2a7-log2a8=( )A.B.C.D.[答案]D[解析] ∵a2·a4·a6·a8·a10=32,∴a6=2,∴log2a7-log2a8=log2=log2=log2=log2=.(理)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则的值为( )A.B.C.D.或[答案] B[解析] 设{an}的公比为q,则q>0.∵a2,a3,a1成等差数列,∴a3=a1+a2,∴a1q2=a1+a1q,∵a1≠0,∴1+q=q2,又∵q>0,∴q=,∴=q=.2.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+-8-\n的最小值为( )A.B.C.D.不存在[答案] A[解析] 因为a7=a6+2a5,所以q2-q-2=0,q=2或q=-1(舍去).又==4a1,所以m+n=6.则+=(+)(m+n)=(1+++4)≥.当且仅当=,即n=2m时,等号成立.此时m=2,n=4.故选A.二、填空题3.(2022·安徽高考)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.[答案] 1[解析] 设数列{an}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则q===1,故q=1.4.若数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,是首项为1,公比为2的等比数列,则an等于________.[答案] 2n-1[解析] an-an-1=a1qn-1=2n-1,即相加:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,∴an=2n-2+a1=2n-1.三、解答题5.(文)已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=;-8-\n(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.[解析] (1)因为an=×n-1=,Sn==,所以Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.(理)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.[解析] (1)设数列{an}的公比为q.由a=9a2a6得a=9a,所以q2=.由条件可知q>0,故q=,由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=,故数列{an}的通项公式为an=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.故=-=-2(-),++…+=-2[(1-)+(-)+…+(-)]=-.所以数列{}的前n项和为-.6.(文)(2022·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.-8-\n[解析] (1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n,故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.(理)(2022·新课标Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:++…+<.[解析] (1)∵a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.∴an+1+=3an+1+=3(an+).∴{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.(2)由(1)知,an+=,∴an=,=.=1,当n>1时,=<.∴+++…+<1+++…+==(1-)<.所以,+++…+<,n∈N*.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:44
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