三年模拟一年创新2022届高考数学复习第七章第五节推理与证明理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.答案　C2．(2022·四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案　C二、填空题3．(2022·广东模拟)已知n，k∈N*，且k≤n，kC＝nC，则可推出C＋2C＋3C＋…＋kC＋…＋nC＝n(C＋C＋…C＋…C)＝n·2n－1，由此，可推出C＋22C＋32C＋…＋k2C＋…＋n2C＝________.9\n解析　C＋22C＋32C＋…＋k2C＋…＋n2C＝n(C＋2C＋…＋kC＋…＋nC)＝n[(C＋C＋…＋C＋…＋C)＋(C＋2C＋…＋(k－1)C＋…＋(n－1)C)]．答案　n(n＋1)·2n－24．(2022·杭州二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．解析　对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，所以＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，所以T4，，，的后一项与前一项的比均为q16，因此T4，，，成等比数列．答案　　5．(2022·扬州质检)设f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝________.解析　∵f(n)＝1＋＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案　＋＋6．(2022·福建厦门3月)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：__________________________．解析　由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴＝.9\n答案　＝一年创新演练7．在下面的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(　　)cos02sintanxyzA.1B．2C．3D．4解析　先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得，1231x＝y＝z＝所以选A.答案　A8．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、b均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a＋b＝________．解析　观察下列等式＝2，＝3，＝4，…，照此规律，第7个等式中：a＝7，b＝72－1＝48，∴a＋b＝55，故答案为：55.答案　55B组　专项提升测试9\n三年模拟精选一、选择题9．(2022·大连二模)已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，且n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2012＝(　　)A．503B．1006C．0D．2012解析　∵f1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f1＋f2＋…＋f2012＝×503＝0.答案　C二、填空题10．(2022·西安师大附中模拟)观察下列等式：＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，…，则当n＜m且m，n∈N时，＋＋…＋＋＝________(最后结果用m，n表示)．解析　当n＝0，m＝1时，为第一个式子＋＝1，此时1＝12－0＝m2－n2，当n＝2，m＝4时，为第二个式子＋＋＋＝12；此时12＝42－22＝m2－n2，当n＝5，m＝8时，为第三个式子＋＋＋＋＋＝39，此时39＝82－52＝m2－n2，由归纳推理可知观察下列等式：＋＋…＋＋＝m2－n2.故答案为：m2－n2.答案　m2－n211．(2022·山东威海模拟)对大于1的自然数m9\n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是2015，则m的值为________．解析　由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m＝个，2015是从3开始的第1007个奇数，当m＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共＝989个．当m＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共＝1034个．答案　4512.(2022·天津和平二模)将全体正整数排成一个三角形数阵：根据右面排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．解析　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案　三、解答题13．(2022·黄冈二模)设f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，f(x)图象的一条对称轴是x＝.(1)求φ的值；(2)求y＝f(x)的递增区间；(3)证明：直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．(1)解　由对称轴是x＝得sin＝±1，＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，而－π<φ<0，∴φ＝－.9\n(2)解　f(x)＝sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，即f(x)的递增区间为(k∈Z)．(3)证明　f(x)＝sin，f′(x)＝2cos≤2，即曲线的切线的斜率不大于2，而直线5x－2y＋c＝0的斜率为>2，即直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．14．(2022·湖南常德4月)设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解　∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．(2)证明　(ⅰ)易知，n＝1时，猜想正确．(ⅱ)假设n＝k时猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.这说明，n＝k＋1时猜想正确．9\n由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n∈N*，都有an＝.一年创新演练15．设函数f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求函数f(x)的最小值；(2)设F(x)＝ax2＋f′(x)(a∈R)，讨论函数F(x)的单调性；(3)斜率为k的直线与曲线y＝f′(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，求证：<k<.(1)解　f′(x)＝lnx＋1(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝，当x∈，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.∴当x＝时，f(x)min＝ln＝－.(2)解　F(x)＝ax2＋lnx＋1(x>0)，F′(x)＝2ax＋＝(x>0)，当a≥0时，恒有F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令F′(x)>0，得2ax2＋1>0，解得0<x<；令F′(x)<0，得2ax2＋1<0，解得x>.综上，当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，F(x)在上单调递增，在9\n上单调递减．(3)证明　由题意k＝＝.要证明不等式<k<成立，即证x1<<x2成立，也就是证明x1<<x2成立，等价于证明不等式1<<成立．令t＝(t>1)，则只要证明1<<t成立即可，由t>1，知lnt>0，故等价于证明不等式lnt<t－1<tlnt(t>1)恒成立．(*)①令函数g(t)＝t－1－lnt(t≥1)，则g′(t)＝1－≥0(t≥1)，故g(t)在[1，＋∞)上是增函数，∴当t>1时，g(t)＝t－1－lnt>g(1)＝0，即t－1>lnt(t>1)成立．②令函数h(t)＝tlnt－(t－1)(t≥1)，则h′(t)＝lnt≥0(t≥1)，故h(t)在[1，＋∞)上是增函数，∴当t>1时，h(t)＝tlnt－(t－1)>h(1)＝0，即t－1<tlnt(t>1)．由①②知(*)成立，得证．16．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋＜7.(1)解　an＋1＋1＝2－＝，9\nbn＋1＝＝＝＝＋＝bn＋，又b1＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，bn＝(也可以求出b1＝，b2＝，b3＝，b4＝猜想并用数学归纳法证明，数学归纳法证明过程如下：①当n＝1时，b1＝符合通项公式bn＝；②假设当n＝k时猜想成立，即bk＝＝，ak＝－1，那么当n＝k＋1时ak＋1＝＝＝，bk＋1＝＝＝，即n＝k＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n∈N*都有bn＝)．(2)证明　当n＝1时，左边＝＝4＜7不等式成立；当n＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5＜7不等式成立；当n≥3时，＝＜＝4，左边＝＋＋…＋＜4＋1＋4＝5＋4＝7－＜7，不等式成立.9