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五年高考2022届高考数学复习第七章第五节推理与证明文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第七章第五节推理与证明文全国通用
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第五节 推理与证明考点一 合情推理与演绎推理1.(2022·江西,5)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( )A.76B.80C.86D.92解析 由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N+)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案 B2.(2022·陕西,16)观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为________.解析 等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1-+-+…+-;等式右边的特征:第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n个有n项,且有前几个的规律不难发现第n个等式右边应为++…+.答案 1-+-+…+-=++…+3.(2022·陕西,13)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为_______________________________________________.解析 观察规律,等号左侧为(n+1)(n+2)…(n+n),8\n等号右侧分两部分,一部分是2n,另一部分是1×3×…×(2n-1).答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)4.(2022·福建,16)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________.解析 可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,所以a=b=1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,所以b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.答案 2015.(2022·课标Ⅰ,14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市,又知乙没去过C城市,故乙去过A城市.答案 A6.(2022·湖南,15)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________.(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.解析 (1)根据题意可知子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0,…,0,此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,1,0,则P={a1,a3,…,a2n-1,…,a99}(1≤n≤50),子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,1,则Q={a1,a4,…,a3k-2,…,a100}(1≤k≤34),则P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有17项.答案 (1)2 (2)177.(2022·湖北,17)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.8\n(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是________;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=________(用数值作答).解析 由图形可得四边形DEFG对应的S,N,L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S,N,L的值为2,0,6.加上已知S=1时N=0,L=4,代入S=aN+bL+c可计算求出a=1,b=,c=-1,故当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.答案 (1)3,1,6 (2)798.(2022·陕西,12)观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为______________________________________________.解析 3=2×1+1,5=2×2+1,7=2×3+1,所以第五个不等式右边的分子为2×5+1=11.故填1+++++<.答案 1+++++<9.(2022·陕西,13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=258\n4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律,第五个等式应为______________________________________________.解析 观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是9个连续自然数的和,第一个数为5,∴第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72,则第5行应为81=92.∴第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.答案 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81考点二 直接证明与间接证明1.(2022·山东,4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.答案 A2.(2022·四川,21)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.解 (1)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a),所以g′(x)=2-=,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx,令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0,8\n于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0,令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1),由u′(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,即a0∈(0,1),当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,再由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0,故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0,综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.3.(2022·江苏,20)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a,a,a,a依次构成等比数列?并说明理由.(1)证明 因为=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列,(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.8\n显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.(3)解 假设存在a1,d及正整数n,k,使得a,a,a,a依次构成等比数列,则a(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).分别在两个等式的两边同除以a及a,并令t=,则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=.令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t)].令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0.由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ′2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在和(0,+∞)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.8\n所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a,a,a,a依次构成等比数列.4.(2022·天津,20)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.(1)解 当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=-qn-1=-1<0.所以,s<t.5.(2022·山东,22)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.(1)解 由f(x)=,得f′(x)=,x∈(0,+∞),由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以f′(1)=0,因此k=1.(2)解 由(1)得f′(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞).当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.又ex>0,所以x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).8\n(3)证明 因为g(x)=xf′(x),所以g(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).由(2)h(x)=1-x-xlnx,求导得h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2).所以当x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.所以当x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2.又当x∈(0,+∞)时,0<<1,所以当x∈(0,+∞)时,h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.综上所述结论成立.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:59:43
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