全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题8第40练归纳推理与类比推理理
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第40练 归纳推理与类比推理[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容,在高考中,常以选择题、填空题的形式考查.题目难度不大,只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.常考题型精析题型一 利用归纳推理求解相关问题例1 (1)(2022·陕西)观察下列等式:1-=,1-+-=+,1-+-+-=++,…据此规律,第n个等式可为________________________________________________.(2)如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,…,则第2014个图形用的火柴根数为( ) A.2012×2015B.2013×2014C.2013×2015D.3021×2015点评 归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象,归纳所得到的结论是未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否准确,还需要经过逻辑推理和实践检验,因此归纳推理不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助发现问题和提出问题.变式训练1 (2022·陕西)观察分析下表中的数据:9\n多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_______________________________.题型二 利用类比推理求解相关问题例2 如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c2=a2+b2.空间中的正方体,用一平面去截正方体的一角,截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,截面面积为S,类比平面中的结论有____________________.点评 类比推理的一般步骤(1)定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)推测,即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验,即检验猜想的正确性,要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2 (2022·济南模拟)已知正三角形内切圆的半径是其高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是( )A.正四面体的内切球的半径是其高的B.正四面体的内切球的半径是其高的C.正四面体的内切球的半径是其高的D.正四面体的内切球的半径是其高的高考题型精练9\n1.(2022·西安模拟)我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a,类比上述结论,边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A.aB.aC.aD.a2.已知x>0,观察不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…,由此可得一般结论:x+≥n+1(n∈N*),则a的值为( )A.nnB.n2C.3nD.2n3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于( )A.28B.76C.123D.1994.(2022·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人5.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=.推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于( )A.B.C.D.6.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn=)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为( )9\nA.dn=B.dn=C.dn=D.dn=7.仔细观察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是________.8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n…可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=____________.9.两点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知:四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________.10.观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10…照此规律,第n个等式可为________.11.观察下列不等式:1+<,9\n1++<,1+++<,…照此规律,第五个不等式为________________________________________________.12.当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+xn+…=.两边同时积分得:1dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx,从而得到如下等式:1×+×()2+×()3+…+×()n+1+…=ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算:C×+C×()2+C×()3+…+C×()n+1=________.9\n答案精析第40练 归纳推理与类比推理常考题型精析例1 (1)1-+-+…+-=++…+ (2)D解析 (1)等式左边的特征:第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1-+-+…+-;等式右边的特征:第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n个有n项,且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为++…+.(2)由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1;第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);……由此,可以推出,第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n).所以第2014个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2014)=3×=3021×2015,故选D.变式训练1 F+V-E=2解析 观察F,V,E的变化得F+V-E=2.例2 S2=S+S+S解析 建立从平面图形到空间图形的类比,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时,注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质,平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质,平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是作出猜想:S2=S+S+S.变式训练2 C[设正四面体的每个面的面积是S,高是h,内切球半径为R,由体积分割可得:SR×4=Sh,所以R=h.故选C.]高考题型精练1.A[正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积.设点到四个面的距离分别为h1,h2,h3,h4,每个面的面积为a2,正四面体的体积为a39\n,则有×a2(h1+h2+h3+h4)=a3,得h1+h2+h3+h4=a.]2.A[根据已知,续写一个不等式:x+=+++≥4=4,由此可得a=nn.故选A.]3.C[观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a10+b10=123.]4.B[假设满足条件的学生有4位及4位以上,设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁,则4位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样,且这两个人语文成绩不一样),那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时,用A,B,C表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有AC,CA,BB,所以最多有3人.]5.C[从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,如图,设正四面体的棱长为a,E为等边三角形ABC的中心,O为内切球与外接球球心.则AE=a,DE=a,设OA=R,OE=r,则OA2=AE2+OE2,即R2=2+2,∴R=a,r=a,∴正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1,故正四面体P—ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于.]6.D[若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,9\n∴dn==c1·q,即{dn}为等比数列,故选D.]7.14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……,则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14.8.1000解析 由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当k为偶数时,N(n,k)=n2+n,∴N(10,24)=×100+×10=1100-100=1000.9.sinα+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0解析 由类比推理可知,四点等分单位圆时,α与α+π的终边互为反向延长线,α+与α+的终边互为反向延长线,如图.10.12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第n个等式左边有n项,指数都是2,且正、负相间,所以等式左边的通项为(-1)n+1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为{an},则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an-an-1=n,各式相加得an-a1=2+3+4+…+n,即an=1+2+3+…+n=.所以第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.11.1+++++<解析 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等,且每行右端分数的分子构成等差数列.9\n∴第五个不等式为1+++++<.12.[()n+1-1]解析 设f(x)=Cx+Cx2+Cx3+…+Cxn+1,∴f′(x)=C+Cx+Cx2+…+Cxn=(1+x)n.∴f=ʃ0(1+x)ndx=0=n+1-(1+0)n+1=,即C×+C×2+C×3+…+C×n+1=.9
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