全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题10第46练分类讨论思想理
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第46练 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素:(1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论.常考题型精析题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围. 12\n 点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键,在本题中,B⊆A,包括B=∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论,在关于指数、对数的运算中,底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1 若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=________.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值. 12\n点评 本题中函数的定义域是确定的,二次函数的对称轴是不确定的,二次函数的最值问题与对称轴息息相关,因此需要对对称轴进行讨论,分对称轴在区间内和对称轴在区间外,从而确定函数在给定区间上的单调性,即可表示函数的最大值,从而求出a的值.变式训练2 (2022·江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值. 12\n题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件下,当3≤s≤5时,z=3x+2y的最大值的变化范围是( )A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函数图象形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3 设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且>,求的值. 高考题型精练1.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)12\nC.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)2.已知数列{an}的前n项和Sn=pn-1(p是常数),则数列{an}是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对3.已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( )A.-B.C.0D.-或04.(2022·四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]5.(2022·大连模拟)抛物线y2=4px(p>0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的点P的个数为( )A.2B.3C.4D.66.在等比数列{an}中,已知a3=,S3=,则a1=________.7.已知函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=________.8.(2022·浙江)若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是________.12\n9.(2022·南昌模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程; (2)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系. 10.已知a是实数,函数f(x)=(x-a).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式;②求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2. 12\n答案精析第46练 分类讨论思想常考题型精析例1 解 ∵A={0,-4},B⊆A,于是可分为以下几种情况.(1)当A=B时,B={0,-4},∴由根与系数的关系,得解得a=1.(2)当BA时,又可分为两种情况.①当B≠∅时,即B={0}或B={-4},当x=0时,有a=±1;当x=-4时,有a=7或a=1.又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足条件;②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综合(1)(2)知,所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.变式训练1 解析 若a>1,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-在[0,+∞)上为减函数,不合题意.若0<a<1,有a-1=4,a2=m,此时a=,m=,检验知符合题意.例2 解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.(1)当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2,∴a=-1.(2)当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a=(舍).(3)当a>1时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.综上可知,a=-1或a=2.变式训练2 解 (1)f′(x)=3x2+2ax,12\n令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,因为f′(x)=3x2≥0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈时,f′(x)<0,所以函数f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减;当a<0时,x∈(-∞,0)∪时,f′(x)>0,x∈时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而或又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,则在(-∞,-3)上g(a)<0,且在∪上g(a)>0均恒成立.从而g(-3)=c-1≤0,且g=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪∪.综上c=1.例3 D[由⇒取点A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4).(1)当3≤s<4时,可行域是四边形OABC,如图(1)所示,此时,7≤z<8.12\n(2)当4≤s≤5时,此时可行域是△OAC′,如图(2)所示,zmax=8.综上,z=3x+2y最大值的变化范围是[7,8].]变式训练3 解 若∠PF2F1=90°,则2=|PF2|2+2,又∵+=6,=2,解得=,=,∴=.若∠F1PF2=90°,则2=2+2,∴2+(6-)2=20,又|PF1|>|PF2|,∴=4,=2,∴=2.综上知,=或2.高考题型精练1.C[依题意,若任意函数f(x)为常函数时,则(x-1)f′(x)=0在R上恒成立;若任意函数f(x)不是常函数时,当x≥1时,f′(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;当x<1时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),综上,则有f(0)+f(2)≥2f(1).]2.D[∵Sn=pn-1,∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1(n≥2),当p≠1且p≠0时,{an}是等比数列;当p=1时,{an}是等差数列;当p=0时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.]3.D[不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形.12\n由图形可知斜率k的值为0或-.]4.B[由动直线x+my=0知定点A的坐标为(0,0),由动直线mx-y-m+3=0知定点B的坐标为(1,3),且两直线互相垂直,故点P在以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|取得最小值,(|PA|+|PB|)min=|AB|=.当点P与点A或点B不重合时,在Rt△PAB中,有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.因为|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|,所以2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤=×=2,所以≤|PA|+|PB|≤2,所以|PA|+|PB|的取值范围是[,2].]5.C[当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设P(x,y),则|FO|=p,|FP|=,若=p,则有x2-2px+y2=0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,当x=0时,不构成三角形.当x=-2p(p>0)时,与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P一共有4个.]6.或6解析 当q=1时,a1=a2=a3=,S3=3a1=,显然成立;当q≠1时,由题意,得所以由①②,得=3,即2q2-q-1=0,所以q=-或q=1(舍去).当q=-时,a1==6.综上可知,a1=或a1=6.7.4解析 若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为12\na≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4;当x<0即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-,令g(x)=-,g′(x)=>0,g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上得a=4.8.6解析 输入n=50,由于i=1,S=0,所以S=2×0+1=1,i=2,此时不满足S>50;当i=2时,S=2×1+2=4,i=3,此时不满足S>50;当i=3时,S=2×4+3=11,i=4,此时不满足S>50;当i=4时,S=2×11+4=26,i=5,此时不满足S>50;当i=5时,S=2×26+5=57,i=6,此时满足S>50,因此输出i=6.9.解 (1)抛物线y2=2px的准线为x=-,由题意得4+=5,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意知,圆M的圆心为点(0,2),半径为2.当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离;当m≠4时,由(1)知A(4,4),则直线AK的方程为:y=(x-m),即4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,12\n令d>2,解得m>1.所以,当m>1时,直线AK与圆M相离;当m=1时,直线AK与圆M相切;当m<1时,直线AK与圆M相交.10.解 (1)函数的定义域为[0,+∞),f′(x)=(x>0).若a≤0,则f′(x)>0,f(x)有单调递增区间[0,+∞).若a>0,令f′(x)=0,得x=,当0<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0.f(x)有单调递减区间[0,],有单调递增区间(,+∞).(2)①由(1)知,若a≤0,f(x)在[0,2]上单调递增,所以g(a)=f(0)=0.若0<a<6,f(x)在[0,]上单调递减,在(,2]上单调递增,所以g(a)=f()=-.若a≥6,f(x)在[0,2]上单调递减,所以g(a)=f(2)=(2-a).综上所述,g(a)=②令-6≤g(a)≤-2.若a≤0,无解.若0<a<6,解得3≤a<6.若a≥6,解得6≤a≤2+3.故a的取值范围为3≤a≤2+3.12
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