全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题1第1练小集合大功能理
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第1练 小集合,大功能[题型分析·高考展望] 集合是高考每年必考内容,题型基本都是选择题、填空题,题目难度大多数为最低档,有时候在填空题中以创新题型出现,难度稍高.在二轮复习中,本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题,研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.常考题型精析题型一 单独命题独立考查常用的运算性质及重要结论:(1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A;(2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A;(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U;(4)A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.例1 (1)(2022·山东)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B等于( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)(2)(2022·湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.答案 (1)C (2)C (3)4解析 (1)∵A={x|x2-4x+3<0}={x|(x-1)(x-3)}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3).(2)若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC.8\n故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.(3)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B=(-∞,a),由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4.点评 (1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键,这主要看代表元素,即“|”前面的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时,可借助Venn图或列举实例.变式训练1 (1)(2022·浙江)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q等于( )A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]答案 C解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2},故选C.(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0≤ax+1≤3}.若A∪B=B,求实数a的取值范围.解 ∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2},∵A∪B=B,∴A⊆B.①当a=0时,B=R,满足题意.②当a>0时,B={x|-≤x≤},∵A⊆B,∴≥2,解得0<a≤1.③当a<0时,B={x|≤x≤-},∵A⊆B,∴-≥2,解得-≤a<0.综上,实数a的取值范围为.题型二 集合与其他知识的综合考查集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查.8\n集合运算的常用方法:(1)若已知集合是不等式的解集,用数轴求解;(2)若已知集合是点集,用数形结合法求解;(3)若已知集合是抽象集合,用Venn图求解.例2 (2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acosθ+bsinθ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R答案 A解析 ∵|a|=|b|=1,a·b=0,又∵=(a+b),∴||2=2(a+b)2=2(a2+b2+2a·b)=4,∴点Q在以原点为圆心,半径为2的圆上.又=acosθ+bsinθ,∴||2=a2cos2θ+b2sin2θ=cos2θ+sin2θ=1.∴曲线C为单位圆.又∵Ω={P|0<r≤||≤R,r<R},要使C∩Ω为两段分离的曲线,如图,可知1<r<R<3,其中图中两段分离的曲线是指与.故选A.点评 以集合为载体的问题,一定要弄清集合中的元素是什么,范围如何.对于点集,一般利用数形结合,画出图形,更便于直观形象地展示集合之间的关系,使复杂问题简单化.变式训练2 (2022·天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.8\n证明:若an<bn,则s<t.(1)解 当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=-qn-1=-1<0.所以s<t.题型三 与集合有关的创新问题与集合有关的创新题目,主要以新定义的形式呈现,考查对集合含义的深层次理解.在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等.例3 (2022·湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30答案 C解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.点评 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.变式训练3 在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z,k=0,1,2,3,4}.给出如下四个结论:①2016∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];8\n④“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中,正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 对于①:2016=5×403+1,∴2016∈[1],故①正确;对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵整数集Z被5除,所得余数共分为五类.∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b属于同一类,则a=5n1+k,b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-(5n2+k)=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b=[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故④正确,∴正确结论的个数是3.高考题型精练1.(2022·天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)等于( )A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A解析 由题意知,∁UB={2,5,8},则A∩(∁UB)={2,5},选A.2.(2022·安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴-1<x<0.∵x<0是-1<x<0的必要不充分条件,故选B.3.(2022·陕西)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N等于( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案 A解析 由题意得M={0,1},N=(0,1],故M∪N=[0,1],故选A.4.(2022·山东)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B等于( )8\nA.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案 C解析 由|x-1|<2,解得-1<x<3,由y=2x,x∈[0,2],解得1≤y≤4,∴A∩B=(-1,3)∩[1,4]=[1,3).5.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 B解析 方法一 代值法、排除法.当a=1时,A=R,符合题意;当a=2时,因为B=[1,+∞),A=(-∞,1]∪[2,+∞).所以A∪B=R,符合题意.综上,选B.方法二 因为B=[a-1,+∞),A∪B=R,所以A⊇(-∞,a-1),又(x-1)(x-a)≥0.所以当a=1时,x∈R,符合题意;当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞),1≥a-1,解得1<a≤2;当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞),a≥a-1,∴a<1.综上,a≤2.6.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9答案 C解析 x-y的取值分别为-2,-1,0,1,2.7.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=∅,则M∪N等于( )A.MB.NC.ID.∅答案 A解析 如图,因为N∩(∁IM)=∅,所以N⊆M,所以M∪N=M.8\n8.在R上定义运算⊗:x⊗y=,若关于x的不等式(x-a)⊗(x+1-a)>0的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集,则实数a的取值范围是( )A.-2≤a≤2B.-1≤a≤1C.-2≤a≤1D.1≤a≤2答案 C解析 因为(x-a)⊗(x+1-a)>0,所以>0,即a<x<a+1,则a≥-2且a+1≤2,即-2≤a≤1.9.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( )A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)答案 B解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.应选B.10.已知a,b均为实数,设集合A={x|a≤x≤a+},B={x|b-≤x≤b},且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把n-m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”,那么集合A∩B的“长度”的最小值是________.答案 解析 ∵,∴0≤a≤,∵∴≤b≤1,利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为-=.11.对任意两个集合M、N,定义:M-N={x|x∈M,且x∉N},M*N=(M-N)∪(N-M),设M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sinx,x∈R},则M*N=__________.答案 {y|y>3或-3≤y<0}解析 ∵M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},N={y|y=3sinx,x∈R}={y|-3≤y≤3},∴M-N={y|y>3},N-M={y|-3≤y<0},∴M*N=(M-N)∪(N-M)={y|y>3}∪{y|-3≤y<0}={y|y>3或-3≤y<0}.8\n12.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},集合B={y|y=x2-2x+a},集合C={x|x2-ax-4≤0}.命题p:A∩B≠∅;命题q:A⊆C.(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p∧q为真命题,求实数a的取值范围.解 (1)A=[1,2],B=[a-1,+∞),若p为假命题,则A∩B=∅,故a-1>2,即a>3.(2)命题p为真,则a≤3.命题q为真,即转化为当x∈[1,2]时,f(x)=x2-ax-4≤0恒成立,方法一 解得a≥0.方法二 当x∈[1,2]时,a≥x-恒成立,而x-在[1,2]上单调递增,故a≥max=0.故实数a的取值范围是[0,3].8
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