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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题1第2练用好逻辑用语突破充要条件理
全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题1第2练用好逻辑用语突破充要条件理
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第2练用好逻辑用语、突破充要条件[题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容,充分、必要条件是重点考查内容,题型基本都是选择题、填空题,题目难度以低、中档为主.在二轮复习中,本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用.这些知识被考查的概率都较高,特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.常考题型精析题型一命题及其真假判断常用结论:(1)原命题与逆否命题等价,同一个命题的逆命题、否命题等价;(2)四个命题中,真命题的个数为偶数;(3)只有p、q都假,p∨q假,否则为真,只有p、q都真,p∧q真,否则为假;(4)全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全称命题,一个命题与其否定不会同真假.例1(1)(2022·安徽)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面22(2)(2022·湖南)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x>y.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案(1)D(2)C解析(1)对于A,α,β垂直于同一平面,α,β关系不确定,A错;对于B,m,n平行于同一平面,m,n关系不确定,可平行、相交、异面,故B错;对于C,α,β不平行,但α内能找出平行于β的直线,如α中平行于α,β交线的直线平行于β,故C错;对于D,若假设m,n垂直于同一平面,则m∥n,其逆否命题即为D选项,故D正确.(2)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.22当x>y时,x>y不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.点评利用等价命题判断命题的真假,是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识1\n地去练习.变式训练1(2022·重庆)已知命题:xp:对任意x∈R,总有2>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)答案Dx解析因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,(綈p)∧(綈q)、(綈p)∧q为假命题,p∧(綈q)为真命题,故选D.题型二充分条件与必要条件例2(1)(2022·北京)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析m⊂α,m∥β⇒/α∥β,但m⊂α,α∥β⇒m∥β,所以m∥β是α∥β的必要而不充分条件.(2)给出下列命题:→→①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;③在△ABC中,sinA>sinB的充要条件为A>B;④在△ABC中,设命题p:△ABC是等边三角形,命题q:a∶b∶c=sinB∶sinC∶sinA,那么命题p是命题q的充分不必要条件.其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上)答案①③→→解析①正确.因为AB=DC,→→→→所以|AB|=|DC|且AB∥DC,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为2\n→→→→→→平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此AB=DC.②不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.ab③正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,当sinA>sinB成立时,得a>b,则A>B;2R2R当A>B时,则有a>b,则sinA>sinB,故命题正确.④不正确.若△ABC是等边三角形,则a=b=c,sinB=sinC=sinA,即命题p是命题qsinCbac的充分条件;若a∶b∶c=sinB∶sinC∶sinA,则=,又由正弦定理得=,sinAcsinAsinCsinCccb222即=,所以=,即c=ab,同理得a=bc,b=ac,所以c=a=b,所以△ABC是sinAaac等边三角形.因此命题p是命题q的充要条件.综上所述,正确命题的序号是①③.点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)准确转化:若綈p是綈q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若綈p是綈q的充要条件,那么p是q的充要条件.变式训练2(2022·湖北)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:2222222(a1+a2+…+an-1)·(a2+a3+…+an)=(a1a2+a2a3+…+an-1an),则()A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案B2222222解析若p成立,设a1,a2,…,an的公比为q,则(a1+a2+…+an-1)(a2+a3+…+an)=a1(122n-4222n-42222n-422+q+…+q)·a2(1+q+…+q)=a1a2(1+q+…+q),(a1a2+a2a3+…+an-1an)222n-42=(a1a2)(1+q+…+q),故q成立,故p是q的充分条件.取a1=a2=…=an=0,则q成立,而p不成立,故p不是q的必要条件,故选B.题型三与命题有关的综合问题例3下列叙述正确的是()33A.命题:∃x∈R,使x+sinx+2<0的否定为:∀x∈R,均有x+sinx+2<03\n22B.命题:“若x=1,则x=1或x=-1”的逆否命题为:若x≠1或x≠-1,则x≠13n-7C.已知n∈N,则幂函数y=x为偶函数,且在x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为n=1x+mD.函数y=log2的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m=±13-x答案C33解析A:命题:∃x∈R,使x+sinx+2<0的否定为:∀x∈R,均有x+sinx+2≥0,故A错误;22B:命题:若x=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x≠1,故B错误;3n-7C:因为幂函数y=x在x∈(0,+∞)上单调递减,7所以3n-7<0,解得n<,又n∈N,33n-7所以n=0,1或2;又y=x为偶函数,3n-7所以,n=1,即幂函数y=x为偶函数,且在x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为n=1,C正确;x+mD:令y=f(x)=log2,由其图象关于点(1,0)中心对称,得f(x)+f(2-x)=0,3-xx+m2-x+m即log2+log23-x3-2-xx+m2+m-x=log2=0,3-x1+xx+m2+m-x=1.3-x1+x2整理得:m+2m-3=0,解得m=1或m=-3,x+mx+m当m=-3时,=-1<0,y=log2无意义,3-x3-x故m=1.x+m所以,函数y=log2图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m=1,D错误.3-x点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断,需要有扎实的基础知识,这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真,需要根据有关知识作出逻辑证明,但若需要证明某命题为假,只要举出一个反例即可,因此,“找反例”是破解此类问题的重要方法之一.变式训练3(2022·江西)下列叙述中正确的是()22A.若a,b,c∈R,则“ax+bx+c≥0”的充分条件是“b-4ac≤0”22B.若a,b,c∈R,则“ab≥cb”的充要条件是“a>c”4\n22C.命题“对任意x∈R,有x≥0”的否定是“存在x∈R,有x≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β答案D222解析由于“若b-4ac≤0,则ax+bx+c≥0”是假命题,所以“ax+bx+c≥0”的充分2222222条件不是“b-4ac≤0”,A错;∵ab>cb,且b>0,∴a>c.而a>c时,若b=0,则ab>cb222不成立,由此知“ab>cb”是“a>c”的充分不必要条件,B错;“对任意x∈R,有x≥0”2的否定是“存在x∈R,有x<0”,C错;由l⊥α,l⊥β,可得α∥β,理由是:垂直于同一条直线的两个平面平行,D正确.高考题型精练2n1.(2022·课标全国Ⅰ)设命题p:∃n∈N,n>2,则綈p为()2n2nA.∀n∈N,n>2B.∃n∈N,n≤22n2nC.∀n∈N,n≤2D.∃n∈N,n=2答案C2n2n解析将命题p的量词“∃”改为“∀”,“n>2”改为“n≤2”.2.(2022·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q是充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案C解析当f′(x0)=0时,x=x0不一定是f(x)的极值点,3比如,y=x在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,3因而x=0不是y=x的极值点.由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0.综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件.3.下列命题中,真命题是()2A.∀x∈R,x>0B.∀x∈R,-1<sinx<1C.∃x0∈R,2x0<0D.∃x0∈R,tanx0=2答案D2x解析∀x∈R,x≥0,故A错;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;由y=2的图象可知∀xx∈R,2>0,故C错,D正确.5\nan+an+1*4.(2022·陕西)原命题为“若<an,n∈N,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否2命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案Aan+an+1解析<an⇔an+1<an⇔{an}为递减数列.2原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题,故选A.215.若命题p:函数y=x-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递x增区间是[1,+∞),则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案D2解析因为函数y=x-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x1-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨qx为真命题,綈p为假命题,綈q为真命题,故选D.346.已知命题p:∀x∈R,x<x;命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=-2.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.綈p∧qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)答案B34解析若x<x,则x<0或x>1,∴命题p为假命题;πx-若sinx-cosx=2sin4=-2,π3π7π则x-=+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),424∴命题q为真命题,∴綈p∧q为真命题.27.(2022·山东)若m∈R,命题“若m>0,则方程x+x-m=0有实根”的逆否命题是()2A.若方程x+x-m=0有实根,则m>02B.若方程x+x-m=0有实根,则m≤02C.若方程x+x-m=0没有实根,则m>06\n2D.若方程x+x-m=0没有实根,则m≤0答案D解析原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.∴所求命题为“若方2程x+x-m=0没有实根,则m≤0”.8.下列5个命题中正确命题的个数是()22①对于命题p:∃x∈R,使得x+x+1<0,则綈p:∀x∈R,均有x+x+1>0;②m=3是直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件;^③已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则线性回归方程为y=1.23x+0.08;22π④若实数x,y∈[-1,1],则满足x+y≥1的概率为;4212⑤曲线y=x与y=x所围成图形的面积是S=ʃ0(x-x)dx.A.2B.3C.4D.5答案A2解析①错,应当是綈p:∀x∈R,均有x+x+1≥0;②错,当m=0时,两直线也垂直,所以m=3是两直线垂直的充分不必要条件;③正确,将样本点的中心的坐标代入,满足方2程;④错,实数x,y∈[-1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形,其面积为4,而x+2224-πy<1所表示的平面区域的面积为π,所以满足x+y≥1的概率为;⑤正确,由定积分4的几何意义可知.2222xy9.已知命题p:实数m满足m+12a<7am(a>0),命题q:实数m满足方程+=1m-12-m表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.13,答案3822解析由a>0,m-7am+12a<0,得3a<m<4a,即命题p:3a<m<4a,a>0.22xy由+=1表示焦点在y轴上的椭圆,m-12-m3可得2-m>m-1>0,解得1<m<,23即命题q:1<m<.2因为p是q的充分不必要条件,7\n3a>1,3a≥1,13所以3或3解得≤a≤,4a≤4a<,382213,所以实数a的取值范围是38.10.已知函数f(x)=4|a|x-2a+1.若命题:“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,则实数a的取值范围为____________.1,+∞答案2解析由于f(x)是单调函数,在(0,1)上存在零点,应有f(0)·f(1)<0,解不等式求出实数a的取值范围.由f(0)·f(1)<0⇒(1-2a)(4|a|-2a+1)<0a≥0,a<0,1⇔或⇒a>.2a+12a-1>06a-12a-1<0211.已知下列命题:22①命题“∃x0∈R,x0+1>x0+1”的否定是“∀x∈R,x+1<x+1”;②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(綈p)∧(綈q)”为真命题;③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是__________.答案②22解析命题“∃x0∈R,x0+1>x0+1”的否定是“∀x∈R,x+1≤x+1”,故①错;“p∨q”为假命题说明p假q假,则“(綈p)∧(綈q)”为真命题,故②对;a>5⇒a>2,但a>2D⇒/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错;因为“若xy=0,则x=0或y=0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错.12.下面有四个关于充要条件的命题:①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且2只有一个实数λ使得b=λa”;②“函数y=x+bx+c为偶函数”的充要条件是“b=0”;③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件;④设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.答案①②④22解析由共线向量定理,知命题①为真.当b=0时,y=x+bx+c=x+c显然为偶函数,222反之,y=x+bx+c是偶函数,则(-x)+b(-x)+c=x+bx+c恒成立,就有bx=0恒成立,得b=0,因此②为真.对立事件是互斥事件的特殊情形,所以③为假.在④中,若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数.但是若f(x)=cos(x+φ)(x∈R)是偶函数,则φ=π也成8\n立,故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.9
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:55:45
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