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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题2第4练用好基本不等式理

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第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具,在高考中经常考查,有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时,要注意“拆、拼、凑”等技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件时,才可应用,否则可能会导致结果错误.常考题型精析题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x+=x-a++a(x>a).(2)若+=1,则mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)·≥ma+nb+2(字母均为正数).例1(1)(2022·山东)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.(2)函数y=的最大值为________.点评 求条件最值问题一般有两种思路:一是利用函数单调性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值.等号能够取得.变式训练1 (2022·重庆)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)(2022·深圳模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )A.60件B.80件10\nC.100件D.120件(2)如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.①求曲线C的方程及t的值;②记d=,求d的最大值.         点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛,在最优化实际问题,平面几何问题,代数式最值等方面都要用到基本不等式,应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.10\n变式训练2 (2022·陕西)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(  )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q高考题型精练1.(2022·重庆)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+42.(2022·济南模拟)已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,则xy(  )A.有最大值eB.有最大值C.有最小值eD.有最小值3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(  )A.a<v<B.v=C.<v<D.v=4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(  )A.1+B.1+C.3D.45.(2022·兰州模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则+的最小值为(  )A.B.C.D.6.(2022·北京海淀区模拟)已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为(  )A.4B.16C.9D.37.已知m=a+(a>2),n=x-2(x≥),则m与n之间的大小关系为________.10\n8.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=y,若+(m>0)的最小值为3,则m的值为________.9.(2022·天津)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为________时,log2a·log2(2b)取得最大值.10.(2022·湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒),平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.11.(1)已知0<x<,求y=2x-5x2的最大值;(2)求函数y=(x>-1)的最小值.       12.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.10\n(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.    答案精析第4练 用好基本不等式常考题型精析例1(1) (2)解析 (1)由题意,得x⊗y+(2y)⊗x=+=≥=,当且仅当x=y时取等号.(2)令t=≥0,则x=t2+1,所以y==.当t=0,即x=1时,y=0;当t>0,即x>1时,y=,因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号),10\n所以y=≤,即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).变式训练1 3[∵a,b>0,a+b=5,∴(+)2=a+b+4+2≤a+b+4+()2+()2=a+b+4+a+b+4=18,当且仅当a=,b=时,等号成立,则+≤3,即+最大值为3.]例2 (1)B[平均每件产品的费用为y==+≥2=20,当且仅当=,即x=80时取等号.所以每批应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.](2)解 ①y2=2px(p>0)的准线x=-,∴1-(-)=,p=,∴抛物线C的方程为y2=x.又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1.②由①知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m),依题意,直线AB的斜率存在,且不为0,设直线AB的斜率为k(k≠0).且A(x1,y1),B(x2.y2),由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,∴直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,∴Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·10\n=2∴d==2≤m+(1-m)=1,当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立,又m=满足Δ=4m-4m2>0.∴d的最大值为1.变式训练2 C[∵0<a<b,∴>,又∵f(x)=lnx在(0,+∞)上为增函数,故f>f(),即q>p.又r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=lna+lnb=ln(ab)=f()=p.故p=r<q.选C.]高考题型精练1.D[由题意得所以又log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4ab,所以3a+4b=ab,故+=1.所以a+b=(a+b)(+)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号.故选D.]2.C[∵x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,∴lnx·lny=≤2,∴lnx+lny=lnxy≥1⇒xy≥e.]3.A[设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为+,从而v==.10\n∵0<a<b,∴<,>=a,∴<,即<,∴a<v<.]4.C[f(x)=x+=x-2++2.∵x>2,∴x-2>0.∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立.又f(x)在x=a处取最小值.∴a=3.]5.D[由已知得,3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,其中0<a<,0<b<1.又+==3+++≥+2=,当且仅当=,即a=2b时取“等号”,又3a+2b=2,即当a=,b=时,+的最小值为,故选D.]6.B[因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立.因为+≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,所以m≤16,即m的最大值为16,故选B.]7.m≥n[m=a+=(a-2)++2≥4(a>2),当且仅当a=3时,等号成立.由x≥得x2≥,∴n=x-2=≤4即n∈(0,4],∴m≥n.)8.4解析 由2x-3=y得x+y=3,10\n则+=(x+y)·=≥(1+m+2),∴(1+m+2)=3,即(+1)2=9,解得m=4.9.4解析 log2a·log2(2b)=log2a·(1+log2b)≤2=2=2=4,当且仅当log2a=1+log2b,即a=2b时,等号成立,此时a=4,b=2.10.(1)1900 (2)100解析 (1)当l=6.05时,F==≤==1900.当且仅当v=11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.(2)当l=5时,F==≤==2000.当且仅当v=10米/秒时等号成立,此时车流量最大为2000辆/时.比(1)中的最大车流量增加100辆/时.11.解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x).∵0<x<,∴0<5x<2,2-5x>0,∴5x(2-5x)≤()2=1,∴y≤,当且仅当5x=2-5x,即x=时,ymax=.(2)设x+1=t,则x=t-1(t>0),∴y==t++5≥2+5=9.10\n当且仅当t=,即t=2,且此时x=1时,取等号,∴ymin=9.12.解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.10

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发布时间:2022-08-25 23:55:44 页数:10
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文章作者:U-336598

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