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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第3练 突破充要条件的综合性问题

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第3练 突破充要条件的综合性问题题型一 充分必要条件的判断方法例1 “ea>eb”是“log2a>log2b”的________条件.破题切入点 有关充要条件的判断问题,弄清楚谁是条件谁是结论,然后看谁能推出谁.答案 必要而不充分解析 因为ea>eb⇔a>b,所以取a=1,b=-1,则a>blog2a>log2b;若log2a>log2b,则a>b.综上,“ea>eb”“log2a>log2b”,但“ea>eb”⇐“log2a>log2b”.所以“ea>eb”是“log2a>log2b”的必要而不充分条件.题型二 根据充要条件求参数范围例2 函数f(x)=有且只有一个零点的充分必要条件是________.破题切入点 把函数f(x)的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题,从而求出f(x)有一个零点的充分必要条件.答案 a≤0或a>1解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是a≤0或a>1.总结提高 (1)充要条件的判断,首先要审清什么是条件,什么是结论,然后再看谁能推出谁,有些还可以先找出条件和结论的等价条件,再看谁能推出谁,还有一些数集或集合形式给出的条件或结论,可以从集合的观点来判断充要条件.(2)根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),然后通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围.1.甲:x≠2或y≠3;乙:x+y≠5,则甲是乙的________条件.答案 必要不充分解析 “甲⇒乙”,即“x≠2或y≠3”⇒“x+y≠5”,其逆否命题为:“x+y=5”⇒“x=2且y=3”显然不正确.同理,可判断命题“乙⇒甲”为真命题.所以甲是乙的必要不充分条件.2.设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.答案 解析 綈p:|4x-3|>1;綈q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0,解得綈p:x>1或x<;綈q:x>a+1或x<a.-4-\n若綈p⇐綈q,则或即0≤a≤.3.设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的________条件.答案 充分不必要解析 由题意知函数f(x)=ax在R上是减函数等价于0<a<1,函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1<a<2,∴“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.4.(2022·湖北改编)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的________条件.答案 充要解析 若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.5.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件.答案 充分不必要解析 当α⊥β时,由于α∩β=m,b⊂β,b⊥m,由面面垂直的性质定理知,b⊥α.又∵a⊂α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件.而当a⊂α且a∥m时,∵b⊥m,∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直,∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件.6.“m=-1”是“直线l1:2x-my=2m-1与直线l2:x+2my=m-2垂直”的________.答案 充分不必要解析 若m=-1,则直线l1、l2垂直;若直线l1、l2垂直,则有m=±1,所以“m=-1”是“直线l1:2x-my=2m-1与直线l2:x+2my=m-2垂直”的充分不必要条件.7.给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的________.答案 充分不必要解析 由题意知:綈p⇐q⇔(逆否命题)p⇒綈q.8.已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是________.①p:m≤-2或m≥6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点②p:=1;q:y=f(x)是偶函数③p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ④p:A∩B=A;q:A⊆U,B⊆U,∁UB⊆∁UA答案 ④解析 对于①-4-\n,由y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,可得Δ=m2-4(m+3)>0,从而可得m<-2或m>6.所以p是q的必要不充分条件;对于②,由=1⇒f(-x)=f(x)⇒y=f(x)是偶函数,但由y=f(x)是偶函数不能推出=1,例如函数f(x)=0,所以p是q的充分不必要条件;对于③,当cosα=cosβ=0时,不存在tanα=tanβ,反之也不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于④,由A∩B=A,知A⊆B,所以∁UB⊆∁UA;反之,由∁UB⊆∁UA,知A⊆B,即A∩B=A.所以p⇔q.综上所述,p是q的充分必要条件的是④.9.在直角坐标系中,点(2m+3-m2,)在第四象限的充分必要条件是________.答案 -1<m<或2<m<3解析 点(2m+3-m2,)在第四象限⇔⇔-1<m<或2<m<3.10.(2022·扬州模拟)已知命题p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),命题q:实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,a的取值范围为________.答案 解析 由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即命题p:3a<m<4a,a>0.由+=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即命题q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.11.给出下列命题:①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件.其中,真命题的序号是________.答案 ①④解析 对于①-4-\n,当数列{an}是等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列;但当数列{anan+1}是等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确.对于②,当a≤2时,函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确.对于③,当m=3时,相应的两条直线垂直;反过来,当这两条直线垂直时,不一定能得出m=3,也可能得出m=0,因此③不正确.对于④,由题意,得==,当B=60°时,有sinA=,注意到b>a,故A=30°;但当A=30°时,有sinB=,B=60°或B=120°,因此④正确.12.下面有四个关于充要条件的命题:①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b=λa”;②“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件是“b=0”;③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件;④设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的编号).答案 ①②④解析 由共线向量定理,知命题①为真.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,就有bx=0恒成立,得b=0,因此②为真.对立事件是互斥事件的特殊情形,所以③为假.在④中,若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数.但是若f(x)=cos(x+φ)(x∈R)是偶函数,则φ=π也成立,故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.-4-

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发布时间:2022-08-26 00:16:22 页数:4
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文章作者:U-336598

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