全国通用版2022高考数学二轮复习12+4分项练2不等式与推理证明文
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12+4分项练2 不等式与推理证明1.(2022·北京海淀区模拟)已知x>y>0,则( )A.>B.x>yC.cosx>cosyD.ln(x+1)>ln(y+1)答案 D解析 因为当x>y>0时,<,x<y,以及cosx与cosy的大小关系不确定,所以可排除选项A,B,C.2.如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )答案 A10\n解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A,故选A.3.(2022·漳州质检)已知实数x满足则2x+3y的最大值为( )A.1B.11C.13D.17答案 C解析 令z=2x+3y,将z=2x+3y化为y=-x+,作出可行域如图阴影部分所示(含边界),当直线y=-x+向右上方平移时,直线y=-x+在y轴上的截距增大,即z增大,由图象得,当直线y=-x+过点A时,z取得最大值,联立得A(5,1),此时,z取得最大值2×5+3×1=13.4.(2022·云南省曲靖市第一中学模拟)若直线l:ax-by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x+4y=0,则+的最小值为( )A.2B.2C.D.3+2答案 C解析 将x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5,因为直线l:ax-by=2平分圆x2+y2-2x+4y=0,所以a+2b=2,又a>0,b>0,则+=(a+2b)=≥.5.(2022·华大新高考联盟模拟)若实数x,y满足不等式组则x2+y210\n的取值范围是( )A.B.[0,2]C.D.答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界),x2+y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方,显然O点为最小值点,而A(1,1)为最大值点,故x2+y2的取值范围是[0,2].6.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( )A.7B.5C.4D.1答案 B解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界),联立直线方程可得交点坐标为A,由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,所以-=-1,解得m=5.7.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下:每位股民至少持有其中一支股票,在不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票的人中,只持有A股票的人数比除了持有A股票外,同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票.则只持有B股票的股民人数是( )A.7B.6C.5D.4答案 A解析 设只持有A股票的人数为X(如图所示),10\n则持有A股票还持有其它股票的人数为X-1(图中d+e+f的和),因为只持有一支股票的人中,有一半持有A股票,则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b+c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a(如图所示),那么X+X-1+X+a=28,即3X+a=29,则X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.因为没持有A股票的股民中,持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍,得b+a=2(c+a),即X-a=3c,故当X=8,a=5时满足题意,故c=1,b=7,故只持有B股票的股民人数是7,故选A.8.(2022·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x,y)满足约束条件且x∈Z,y∈Z,则这样的点共有( )A.12个B.11个C.10个D.9个答案 A解析 画出表示的可行域(含边界),由图可知,满足x∈Z,y∈Z的(x,y)有(-4,-1),(-3,0),(-2,1),(-2,0),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),共12个.9.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )A.≥(a>0,b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)10\nC.≤(a>0,b>0)D.≤(a>0,b>0)答案 D解析 由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=,又OC=OB-BC=-b=,则FC2=OC2+OF2=+=,再根据题图知FO≤FC,即≤,当且仅当a=b时取等号.故选D.10.已知实数x,y满足约束条件如果目标函数z=x+ay的最大值为,则实数a的值为( )A.3B.C.3或D.3或-答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界),当a=0时不满足题意,故a≠0.目标函数化为y=-x+z,当a>0时,-<0,(1)当-≤-<0,即a≥2时,最优解为A,z=+a=,a=3,满足a≥2;(2)当-<-,即0<a<2时,最优解为B,z=3+a=,a=,不满足0<a<2,舍去;10\n当a<0时,->0,(3)当0<-<,即a<-2时,最优解为C(-2,-2),z=-2-2a=,a=-,满足a<-2;(4)当-≥,即-2≤a<0时,最优解为B,z=3+a=,a=,不满足-2≤a<0,舍去.综上,实数a的值为3或-,故选D.11.(2022·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则b+2c的取值范围是( )A.(-2,-1)B.(-4,-2)C.(-4,-1)D.(-2,1)答案 D解析 由函数f(x)=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则设z=b+2c,作出约束条件所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示(不含边界),由图象可知,当z=b+2c经过点A时,目标函数z=b+2c取得最大值,当z=b+2c经过点B时,目标函数z=b+2c取得最小值,又由解得A(-3,2),此时zmax=-3+2×2=1,由解得B(-2,0),此时zmin=-2+2×0=-2,所以b+2c的取值范围是(-2,1).12.(2022·天津河北区模拟)若正数a,b满足+=1,则+的最小值为( )A.1B.6C.9D.16答案 B解析 ∵正数a,b满足+=1,10\n∴b=>0,解得a>1.同理b>1.∴+=+9(a-1)≥2=6,当且仅当9(a-1)=,即a=时等号成立.∴+的最小值为6.13.(2022·上饶模拟)若x,y满足约束条件则的最小值为________.答案 解析 画出x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分所示(含边界).的几何意义为可行域内的动点P(x,y)与定点Q(-2,-1)连线的斜率,当P位于A(-1,1)时,直线PQ的斜率最大,此时kmax==2,当P位于B(1,1)时,直线PQ的斜率最小,此时kmin==.14.(2022·南平模拟)若实数x,y满足且z=mx+ny(m>0,n>0)的最大值为4,则+的最小值为________.答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).10\n由可行域知可行域内的点(x,y)均满足x≥0,y≥0.所以要使z=mx+ny(m>0,n>0)最大,只需x最大,y最大即可,即在点A处取得最大值.联立解得A(2,2).所以有2m+2n=4,即m+n=2.+=(m+n)=≥×(2+2)=2.当且仅当m=n=1时,+取得最小值2.15.(2022·宣城调研)已知函数f(x)=2x-sinx,若正实数a,b满足f(a)+f(2b-1)=0,则+的最小值是________.答案 9+4解析 因为f′(x)=2-cosx>0,f(-x)=-2x+sinx=-f(x),所以函数f(x)为单调递增的奇函数,因此由f(a)+f(2b-1)=0,得f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b),所以a=1-2b,a+2b=1,因此+==9++≥9+2=9+4,当且仅当a=,b=时取等号.16.(2022·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段AB的长度为a,在线段AB上取两个点C,D,使得AC=DB=AB,以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段EF做相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:10\n记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn,现给出有关数列{Sn}的四个命题:①数列{Sn}是等比数列;②数列{Sn}是递增数列;③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn>2018;④存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有Sn<2018.其中真命题是________.(请写出所有真命题的序号)答案 ②④解析 由题意,得图1中的线段为a,S1=a,图2中的正六边形的边长为,S2=S1+×4=S1+2a,图3中的最小正六边形的边长为,S3=S2+×4=S2+a,图4中的最小正六边形的边长为,S4=S3+×4=S3+,由此类推,Sn-Sn-1=(n≥2),即{Sn}为递增数列,但不是等比数列,即①错误,②正确;因为Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1)=a+2a+a++…+=a+=a+4a<5a,n≥2,10\n又S1=a<5a,所以存在最大的正数a=,使得对任意的正整数n,都有Sn<2018,即④正确,③错误.10
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