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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第三章第二节导数的应用理全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第三章第二节导数的应用理全国通用
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A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·江西新余模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )A. B.(1,2)C. D.(2,3)解析 函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,而g(x)=lnx+f′(x)在定义域内单调递增,g=ln+1+a<0,g(1)=ln1+2+a=2+a>0,∴函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是,故选C.答案 C2.(2022·河北恒台模拟)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),n∈N,则f2022(x)=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx解析 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,…由上面可以看出,以4为周期进行循环.所以f2015(x)=f3(x)=-cosx,故选D.答案 D3.(2022·江西新余模拟)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ8\n|的最小值为( )A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)解析 函数y=ex和函数y=ln(2x)互为反函数图象关于y=x对称.则只有直线PQ与直线y=x垂直时|PQ|才能取得最小值.设P,则点P到直线y=x的距离为d=,令g(x)=ex-x,(x>0),则g′(x)=ex-1,令g′(x)=ex-1>0得x>ln2;令g′(x)=ex-1<0得0<x<ln2,则g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.则x=ln2时,g(x)min=eln2-ln2=1-ln2>0,所以dmin=.则|PQ|=2dmin=(1-ln2).故B正确.答案 B4.(2022·浙江温州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意x∈R总有f′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为( )A.(-∞,4)B.(-∞,-4)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(4,+∞)解析 记g(x)=f(x)-3x+15,则g′(x)=f′(x)-3<0,可知g(x)在R上为减函数.又g(4)=f(4)-3×4+15=0,所以f(x)<3x-15可化为f(x)-3x+15<0,即g(x)<g(4),结合其函数单调递减,故得x>4.答案 D5.(2022·北京朝阳调研)已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.解析 因为函数f(x)=x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-6x2,令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个极小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,只需3m-≥8\n-9,解得m≥.答案 A二、填空题6.(2022·山西临汾一模)函数y=的极小值为______.解析 函数的定义域为(0,+∞),令y=f(x),f′(x)==.令f′(x)=0,解得x=1或x=e2.函数f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表:x(0,1)1(1,e2)e2(e2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)0则当x=1时,函数y=取到极小值0.答案 0三、解答题7.(2022·湛江质检)已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤x3.(1)解 令h(x)=sinx-ax(x≥0),则h′(x)=cosx-a.①若a≥1,h′(x)=cosx-a≤0,h(x)=sinx-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0,则sinx≤ax(x≥0)成立.②若0<a<1,存在x0∈,使得cosx0=a,当x∈(0,x0),h′(x)=cosx-a>0,h(x)=sinx-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)=0,不合题意.③若a≤0,结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.8\n综上可知,a的取值范围是[1,+∞).(2)证明 当a取(1)中的最小值为1时,g(x)-f(x)=x-sinx.设H(x)=x-sinx-x3(x≥0),则H′(x)=1-cosx-x2.令G(x)=1-cosx-x2,则G′(x)=sinx-x≤0(x≥0),所以G(x)=1-cosx-x2在[0,+∞)上单调递减,此时G(x)=1-cosx-x2≤G(0)=0,即H′(x)=1-cosx-x2≤0,所以H(x)=x-sinx-x3在x∈[0,+∞)上单调递减.所以H(x)=x-sinx-x3≤H(0)=0,则x-sinx≤x3(x≥0).所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤x3.一年创新演练8.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是______.解析 y′=1-2sinx,令y′=0,且x∈,得x=,则x∈时,y′>0;x∈时,y′<0,故函数在上递增,在上递减,所以当x=时,函数取最大值为+.答案 +B组 专项提升测试三年模拟精选8\n一、选择题9.(2022·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+>0,若a=f,b=-2f(-2),c=f,则a,b,c的大小关系正确的是( )A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<a<b解析 设h(x)=xf(x),∴h′(x)=f(x)+x·f′(x),∵y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数,当x>0时,h′(x)=f(x)+x·f′(x)>0,∴此时函数h(x)单调递增.∵a=f=h,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=f=h=h(-ln2)=h(ln2),又2>ln2>,∴b>c>a.故选A.答案 A二、填空题10.(2022·北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性大于1,则商品价格P的取值范围是________.解析 由Q=100-5P得Q′=-5,由=-P知>1,∴20>P>10,由Q>0得P<20.综上,P的取值范围为(10,20).答案 (10,20)11.(2022·黑龙江哈尔滨一模)函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.∵函数f(x)有极大值和极小值,8\n∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)三、解答题12.(2022·山西临汾一模)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;②f′(x)是偶函数;③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)设g(x)=4lnx-m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c.∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,∴f′(1)=3a+2b+c=0,(*)由f′(x)是偶函数得b=0,(ⅰ)又f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,∴f′(0)=c=-1,(ⅱ)将(ⅰ)(ⅱ)代入(*)得a=,∴f(x)=x3-x+3.(2)由已知得,若存在x∈[1,e],使4lnx-m<x2-1,即存在x∈[1,e],使m>(4lnx-x2+1)min.设M(x)=4lnx-x2+1,x∈[1,e],则M′(x)=-2x=,令M′(x)=0,又因为x∈[1,e],所以x=.当<x≤e时,M′(x)<0,则M(x)在(,e]上为减函数;当1≤x≤时,M′(x)>0,则M(x)在[1,]上为增函数,所以M(x)在[1,e]上有最大值.8\n又M(1)=0,M(e)=5-e2<0,所以M(x)的最小值为5-e2.所以m>5-e2.故实数m的取值范围是(5-e2,+∞).一年创新演练13.已知函数f(x)=,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解 (1)f′(x)==-.令f′(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x01f′(x)不存在-0+不存在f(x)--4-3∴当x∈时,f(x)是减函数;当x∈时,f(x)是增函数.当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].(2)g′(x)=3(x2-a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1-a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].8\n即解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.又a≥1,故a的取值范围为.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:46
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文章作者:U-336598
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