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江苏专用2022高考数学二轮专题复习解答题强化练第四周解答题综合练理
江苏专用2022高考数学二轮专题复习解答题强化练第四周解答题综合练理
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星期六 (解答题综合练) 2022年____月____日1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=b.(1)求证:B≤;(2)当·=-2,b=2时,求△ABC的面积.(1)证明 ∵cosB===≥0,∴B≤(当且仅当a=c时取得等号).(2)解 ∵·=-2,∴accosB=2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12,∴a2+c2=16,又a+c=b=2,∴ac=4,∴cosB=,∴sinB=.∴S△ABC=acsinB=.2.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥CD,∠DAC=60°,AB=BC=AC,E是PD的中点,F为ED的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;(2)求证:CF∥平面BAE.证明 (1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AC⊥CD,且AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC,7\n又CD⊂平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.(2)取AE中点G,连接FG,BG.因为F为ED的中点,所以FG∥AD且FG=AD.在△ACD中,AC⊥CD,∠DAC=60°,所以AC=AD,所以BC=AD.在△ABC中,AB=BC=AC,所以∠ACB=60°,从而∠ACB=∠DAC,所以AD∥BC.综上,FG∥BC,FG=BC,四边形FGBC为平行四边形,所以CF∥BG.又BG⊂平面BAE,CF⊄平面BAE,所以CF∥平面BAE.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若·=(O为坐标原点),求|y1-y2|的值;(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)由椭圆的定义知a=,设P(x,y),则有·=-,则=-,又点P在椭圆上,则=-=-,∴b2=2,∴椭圆C的方程是+=1.∵·=,7\n∴||·||cos∠AOB=,∴||·||sin∠AOB=4,∴S△AOB=||·||sin∠AOB=2,又S△AOB=|y1-y2|×1,故|y1-y2|=4.(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QA,QB的倾斜角互为补角,依题意可知直线l斜率存在且不为零,直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=.∵直线QA,QB的倾斜角互为补角,∴kQA+kQB=0,即+=0,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,∴2×+2m-(m+1)×=0,即2m-6=0,∴m=3,∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.4.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.解 (1)设奖励函数模型为y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数y=f(x)满足:7\n当x∈[10,1000]时,①f(x)在定义域[10,1000]上是增函数;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤恒成立.对于函数模型f(x)=+2.当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,f(x)max=f(1000)=+2=+2<9.所以f(x)≤9恒成立.但x=10时,f(10)=+2>,即f(x)≤不恒成立,故该函数模型不符合公司要求.(2)对于函数模型f(x)=,即f(x)=10-,当3a+20>0,即a>-时递增;要使f(x)≤9对x∈[10,1000]恒成立,即f(1000)≤9,3a+18≥1000,a≥;要使f(x)≤对x∈[10,1000]恒成立,即≤,x2-48x+15a≥0恒成立,所以a≥.综上所述,a≥,所以满足条件的最小的正整数a的值为328.5.设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn(n∈N*),b2=2b1.(1)若b3=3,求b1的值;(2)求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列;(3)设数列{Tn}满足:Tn+1=Tnbn+1(n∈N*),且T1=b1=-,若存在实数p,q,对任意n∈N*7\n都有p≤T1+T2+T3+…+Tn<q成立,试求q-p的最小值.(1)解 ∵bn+2=-bn+1-bn,∴b3=-b2-b1=-3b1=3,∴b1=-1.(2)证明 ∵bn+2=-bn+1-bn①,∴bn+3=-bn+2-bn+1②,②-①得bn+3=bn,∴(bn+1bn+2bn+3+n+1)-(bnbn+1bn+2+n)=bn+1bn+2(bn+3-bn)+1=1为常数,∴数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列.(3)解 ∵Tn+1=Tn·bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=…=b1b2b3…bn+1当n≥2时Tn=b1b2b3…bn(*),当n=1时,T1=b1适合(*)式∴Tn=b1b2b3…bn(n∈N*).∵b1=-,b2=2b1=-1,b3=-3b1=,bn+3=bn,∴T1=b1=-,T2=T1b2=,T3=T2b3=,T4=T3b4=T3b1=T1,T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=T2,T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=T3,……T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3=T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3=(T3n-2+T3n-1+T3n),∴数列{T3n-2+T3n-1+T3n}(n∈N*)是等比数列,首项T1+T2+T3=且公比q=,记Sn=T1+T2+T3+…+Tn,①当n=3k(k∈N*)时,Sn=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)…+(T3k-2+T3k-1+T3k)7\n==3,∴≤Sn<3;②当n=3k-1(k∈N*)时Sn=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+…+(T3k-2+T3k-1+T3k)-T3k=3-(b1b2b3)k=3-4·∴0≤Sn<3;③当n=3k-2(k∈N*)时Sn=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+…+(T3k-2+T3k-1+T3k)-T3k-1-T3k=3-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k=3--=3-·,∴-≤Sn<3.综上得-≤Sn<3,故p≤-且q≥3,∴q-p的最小值为.6.已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.解 (1)当a=-1时,f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-,所以f(1)=2,且f′(1)=2.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为:y-2=2(x-1),即:y=2x.(2)由题意得f′(x)=2x-(1+2a)+=7\n=(x>0),由f′(x)=0,得x1=,x2=a,①当0<a<时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<a或<x<1由f′(x)<0,又知x>0,得a<x<,所以函数f(x)的单调增区间是(0,a)和,单调减区间是,②当a=时,f′(x)=≥0,且仅当x=时,f′(x)=0,所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.③当<a<1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<或a<x<1,由f′(x)<0,又知x>0,得<x<a,所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1),单调减区间是,④当a≥1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<,由f′(x)<0,又知x>0,得<x<1,所以函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.7
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:25:06
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文章作者:U-336598
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