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江苏专用2022高考数学二轮专题复习解答题强化练第四周函数与导数问题理

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星期五 (函数与导数问题) 2022年____月____日已知函数f(x)=ex+mx-2,g(x)=mx+lnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m=-1时,试推断方程|g(x)|=+是否有实数解;(3)证明:在区间(0,+∞)上,函数y=f(x)的图象恒在函数y=g(x)的图象的上方.(1)解 由题意可得:f′(x)=ex+m.当m≥0,f′(x)>0,所以当m≥0时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).当m<0时,令f′(x)>0,即ex+m>0,可得x>ln(-m);令f′(x)<0,即ex+m<0,可得x<ln(-m).所以当m<0时,函数f(x)的单调增区间为[ln(-m),+∞),单调减区间为(-∞,ln(-m)].(2)解 当m=-1时,g(x)=-x+lnx(x>0),易得g′(x)=-1.令g′(x)>0,可得0<x<1,令g′(x)<0,可得x>1.故g(x)在x=1得取得极大值,亦即最大值.即g(x)≤g(1)=-1,∴|g(x)|≥1.令h(x)=+,所以h′(x)=.令h′(x)>0,可得0<x<e,令h′(x)<0,可得x>e,故h(x)在x=e取得极大值,亦即最大值,∴h(x)≤h(e)=+<1.所以方程|g(x)|=+无实数解.(3)证明 由题意可知本题即证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x)恒成立.令F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx-2(x>0),则F′(x)=ex-=.令H(x)=xex-1,则H′(x)=ex+xex=ex(x+1).又x∈(0,+∞),∴H′(x)>0,∴函数H(x)在(0,+∞)上单调递增.2\n∴H(0)=-1.又H(1)=e-1>0,设x0为函数H(x)的零点,则x0∈(0,1),即H(x0)=x0ex0-1=0,即x0ex0=1,∴x0==e-x0,ex0=,∴当x∈(0,x0)时,H(x)<0,即x∈(0,x0)时,函数F(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,H(x)>0,即x∈(x0,+∞)时,函数F(x)单调递增.∴x0为函数F(x)的极小值点,亦即最小值点,∴F(x)≥F(x0)=ex0-lnx0-2=+x0-2>2-2=0,∴F(x)>0,即x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x),∴原题得证.2

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发布时间:2022-08-25 23:25:07 页数:2
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文章作者:U-336598

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