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江苏专用2022高考数学二轮专题复习解答题强化练第三周解答题综合练理

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星期六 (解答题综合练) 2022年____月____日1.设向量a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ为锐角.(1)若a·b=,求sinθ+cosθ的值;(2)若a∥b,求sin的值.解 (1)因为a·b=2+sinθcosθ=,所以sinθcosθ=.所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=.又因为θ为锐角,所以sinθ+cosθ=.(2)法一 因为a∥b,所以tanθ=2.所以sin2θ=2sinθcosθ===,cos2θ=cos2θ-sin2θ===-.所以sin=sin2θ+cos2θ=×+×=.法二 因为a∥b,所以tanθ=2.所以sinθ=,cosθ=.因此sin2θ=2sinθcosθ=,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-.所以sin=sin2θ+cos2θ7\n=×+×=.2.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;(2)求证:PD∥平面EAC.证明 (1)∵PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.(2)∵PA⊥底面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD.又∵PC⊥AD,又PC∩PA=P,∴AD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,∴AC⊥AD.在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,∴∠DCA=∠BAC=.又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.∴DC=AC=(AB)=2AB.连接BD,交AC于点M,连接EM,则==2.在△BPD中,==2,∴PD∥EM又PD⊄平面EAC,EM⊂平面EAC,7\n∴PD∥平面EAC.3.某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2022年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:P(x)=x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*).(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式;(2)若第x月的销售量g(x)=(单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6≈403)解 (1)当x=1时,f(1)=P(1)=39.当x≥2时,f(x)=P(x)-P(x-1)=x(x+1)(41-2x)-(x-1)x(43-2x)=3x(14-x).∴f(x)=-3x2+42x(x≤12,x∈N*).(2)设月利润为h(x),h(x)=q(x)·g(x)=h′(x)=∵当1≤x≤6时,h′(x)≥0,当6<x<7时,h′(x)<0,∴当1≤x<7且x∈N*时,h(x)max=30e6≈12090,∵当7≤x≤8时,h′(x)≥0,当8≤x≤12时,h′(x)≤0,∴当7≤x≤12且x∈N*时,h(x)max=h(8)≈2987.综上,预计该商场第6个月的月利润达到最大,最大月利润约为12090元.4.如图,椭圆+=1(a>b>0)的上,下两个顶点为A,B,直线l:y=-2,点P是椭圆上异于点A,B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点N,连接PB并延长交直线l于点M,设AP所在的直线的斜率为k1,BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为7\n,且过点A(0,1).(1)求k1·k2的值;(2)求MN的最小值;(3)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点?若过定点,求出该定点;如不过定点,请说明理由.解 (1)因为e==,b=1,解得a=2,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.设椭圆上点P(x0,y0),有+y=1,所以k1·k2=·==-.(2)因为M,N在直线l:y=-2上,设M(x1,-2),N(x2,-2),由方程知+y2=1知,A(0,1),B(0,-1),所以kBM·kAN=·=,又由(1)知kAN·kBM=k1·k2=-,所以x1x2=-12,不妨设x1<0,则x2>0,则MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+≥2=4,所以当且仅当x2=-x1=2时,MN取得最小值4.(3)设M(x1,-2),N(x2,-2),则以MN为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y+2)2=0,即x2+(y+2)2-12-(x1+x2)x=0,若圆过定点,7\n则有x=0,x2+(y+2)2-12=0,解得x=0,y=-2±2,所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点(0,-2±2).5.已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx,a∈R.(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;(2)设F(x)=若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.解 (1)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x.由于x∈[1,e],lnx≤1≤x,且等号不能同时取得,所以lnx<x,x-lnx>0.从而a≤恒成立,a≤.设t(x)=,x∈[1,e].求导,得t′(x)=.x∈[1,e],x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.所以t(x)min=t(1)=-1,所以a的取值范围是(-∞,-1].(2)F(x)=设P(t,F(t))为曲线y=F(x)上的任意一点.假设曲线y=F(x)上存在一点Q(-t,F(-t)),使∠POQ为钝角,则·<0.①若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),·=-t2+aln(-t)·(-t3+t2).由于·<0恒成立,a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立.当t<-1时,a<恒成立.由于>0,所以a≤0.②若-1<t<1,且t≠0,P(t,-t3+t2),Q(-t,t3+t2),则·=-t2+(-t3+t2)·(t3+t2)<0,即t4-t2+1>0对-1<t<1,且t≠0恒成立.③当t≥1时,同①可得a≤0.7\n综上所述,a的取值范围是(-∞,0].6.已知数列{an}的前三项分别为a1=5,a2=6,a3=8,且数列{an}的前n项和Sn满足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,n为任意正整数.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)求满足S-an+33=k2的所有正整数k,n.解 (1)在等式Sm+n=(S2n+S2m)-(n-m)2中,分别令m=1,m=2,得Sn+1=(S2n+S2)-(n-1)2,①Sn+2=(S2n+S4)-(n-2)2,②②-①,得an+2=2n-3+.在等式Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m2)中,令n=1,m=2,得S3=(S2+S4)-1,由题设知,S2=11,S3=19,故S4=29.所以an+2=2n+6(n∈N*),即an=2n+2(n≥3,n∈N*).又a2=6也适合上式,故an=Sn=即Sn=n2+3n+1,n∈N*.(2)记S-an+33=k2(*).n=1时,无正整数k满足等式(*).n≥2时,等式(*)即为(n2+3n+1)2-3(n-10)=k2.①当n=10时,k=131.②当n>10时,则k<n2+3n+1,又k2-(n2+3n)2=2n2+3n+31>0,所以k>n2+3n.从而n2+3n<k<n2+3n+1.又因为n,k∈N*,所以k不存在,从而无正整数k满足等式(*).③当n<10时,则k>n2+3n+1,因为k∈N*,所以k≥n2+3n+2.从而(n2+3n+1)2-3(n-10)≥(n2+3n+2)2.即2n2+9n-27≤0.因为n∈N*,所以n=1或2.n=1时,k2=52,无正整数解;n=2时,k2=145,无正整数解.7\n综上所述,满足等式(*)的n,k分别为n=10,k=131.7

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发布时间:2022-08-25 23:25:09 页数:7
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文章作者:U-336598

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