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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训38等差数列及其前n项和理含解析新人教版202302272145
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训38等差数列及其前n项和理含解析新人教版202302272145
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课后限时集训(三十八) 等差数列及其前n项和建议用时:40分钟一、选择题1.若{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于( )A.-2B.-C.D.2B [由于a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,则a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,解得d=-.故选B.]2.在等差数列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{an}的前11项和等于( )A.66B.132C.-66D.-132D [因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24.又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12,S11===-132,故选D.]3.数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5=( )A.9B.10C.11D.12D [由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}为等差数列,∴a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.故选D.]4.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A.15B.21C.23D.25D [由题意得a1+5d=3(a1+3d),∴a1=-2d.∴λ====25,故选D.]5.等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为( )A.6B.7C.8D.9C [∵|a6|=|a11|且公差d>0,∴a6=-a11.∴a6+a11=a8+a9=0,且a8<0,a9>0,∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…,∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.]6.(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上,中,下三层,\n上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块C [由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},易知其首项a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,得n=9,所以三层共有扇面形石板的块数为S3n===3402,故选C.]二、填空题7.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则=.4 [设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得2a1=d,所以===4.]8.(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.3n2-2n [将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列,故它的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.]9.已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.其中一定正确的结论是.(填序号)①③ [a1+5(a1+2d)=8a1+28d,所以a1=-9d,\na10=a1+9d=0,故①正确;由于d的符号未知,所以S10不一定最小,故②错误;S7=7a1+21d=-42d,S12=12a1+66d=-42d,所以S7=S12,故③正确;S20=20a1+190d=10d,不一定为0,故④错误.所以正确的是①③.]三、解答题10.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.[解] (1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.11.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.[解] (1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,\n故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,又b1=2,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn==.1.(2020·大连模拟)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2019+a2020>0,a2019·a2020<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )A.2019B.2020C.4039D.4038D [{an}是等差数列,首项a1>0,a2019+a2020>0,a2019·a2020<0,所以{an}是递减的等差数列,且a2019>0,a2020<0,因为a2019+a2020=a1+a4038>0,a1+a4039=2a2020<0,所以S4038=>0,S4039=<0.所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4038.故选D.]2.已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N*),则an=,数列{an}中最大项的值为. [由题意知an≠0,由an+1=得==+8,整理得-=8,即数列是公差为8的等差数列,故=+(n-1)×8=8n-17,所以an=.当n=1,2时,an<0;当n≥3时,an>0,则数列{an}在n≥3时是递减数列,故{an}中最大项的值为a3=.]3.已知一次函数f(x)=x+8-2n.(1)设函数y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an},求证:数列{an}是等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn},求数列{bn}的前n项和Sn.[解] (1)证明:由题意得an=8-2n,因为an+1-an=8-2(n+1)-8+2n=-2,且a1=8-2=6,所以数列{an}是首项为6,公差为-2的等差数列.(2)由题意得bn=|8-2n|.由b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2,\n可知此数列前4项是首项为6,公差为-2的等差数列,从第5项起,是首项为2,公差为2的等差数列.所以当n≤4时,Sn=6n+×(-2)=-n2+7n,当n≥5时,Sn=S4+(n-4)×2+×2=n2-7n+24.故Sn=1.(2020·青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*),则a20=,S21=.20 231 [∵an+an+1=2n+1,①∴an+1+an+2=2n+3,②②-①得an+2-an=2.∴数列{an}的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列.又a1=1,且a1+a2=3,∴a2=2,∴a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,∴S21=(a1+a3+…+a21)+(a2+a4+…+a20)=+=231.]2.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.[解] (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;\n当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:22
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文章作者:U-336598
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