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2023版高考数学一轮复习课后限时集训38等比数列及其前n项和含解析202303181102
2023版高考数学一轮复习课后限时集训38等比数列及其前n项和含解析202303181102
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课后限时集训(三十八)等比数列及其前n项和建议用时:40分钟一、选择题1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24A [由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x·(6x+6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24,选A.]2.已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是( )A.1B.-C.1或-D.-1或C [当q=1时,a3=7,S3=21,符合题意;当q≠1时,得q=-.综上,q的值是1或-,故选C.]3.(多选)设等比数列{an}的公比为q,则下列说法正确的是( )A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列D.数列是公比为的等比数列AD [对于A,由=q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列;对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列;对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列;对于D,==,所以数列是公比为的等比数列.故选AD.]4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( )\nA.6里B.12里C.24里D.48里B [记每天走的路程里数为{an},由题意知{an}是公比为的等比数列,由S6=378,得S6==378,解得a1=192,∴a5=192×=12(里).故选B.]5.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )A.2B.3C.4D.5C [令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4,故选C.]6.(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )A.若a1+a2>0,则a1+a3>0B.若a1+a3>0,则a1+a2>0C.若a1>0,则S2021>0D.若a1>0,则S2020>0C [A错误,如数列:-1,2,-4,….BD错误,如数列1,-2,4,….C正确,当q<0时,显然S2021>0;当0<q<1时,及q>1时“1-q”与“1-q2021”同号,故S2021>0;当q=1时,显然S2021>0,故C正确.]二、填空题7.(2020·浙江嘉兴模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且an>0,S1+a1=2,S3+a3=22,则公比q=________,S5+a5=________.3 202 [由题意得2a1=2,∴a1=1.由a1+a1q+2a1q2=22,得q=3或-,∵an>0,∴q=-不合题意,故q=3,∴S5+a5=+1×34=202.]8.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项之和为,则此数列的项数为________.\n5 [设此等比数列为{am},公比为q,则该数列共有n+2项.∵14≠,∴q≠1.由等比数列的前n项和公式,得=,解得q=-,∴an+2=14×n+2-1=,即n+1=,解得n=3,∴该数列共有5项.]9.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=________.30 [由题意知公比大于0,由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又∵S3n=14,∴S4n=14+2×23=30.]三、解答题10.(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.[解] (1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得解得a1=1,q=3.所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去),m=6.11.设数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,令bn=an+1-an(n∈N*)(1)证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.[解] (1)证明:∵an+2=an+1-an,∴an+2-an+1=(an+1-an),而bn=an+1-an,\n∴bn+1=bn,又b1=a2-a1=,∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)知bn=×n-1=n,∴an-an-1=n-1,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1++2+…+n-1==3-3·n.1.(多选)(2020·山东枣庄期中)将n2个数排成一个如下所示的n行n列的数阵:该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S,则下列结论正确的有( )A.m=3B.a67=17×37C.aij=(3i-1)×3j-1D.S=n(3n+1)(3n-1)ACD [由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5m=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),所以选项A正确;a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;aij=ai1mj-1=[a11+(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C正确;S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+…+a2n)+…+(an1+an2+…+ann)=++…+=(3n-1)·\n=n(3n+1)(3n-1),所以选项D正确.故选ACD.]2.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为________. [由题意,得正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1023,∴n=10,∴最小正方形的边长为×9=.]3.[结构不良试题]在①b4=a3+a5;②b4+b6=3a3+3a5;③a2+a3=b4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是公比大于0的等比数列,b1=1,b3=b2+2,b5=a4+2a6,且________,设cn=,是否存在实数k,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn?[解] 设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0),因为{bn}是公比大于0的等比数列,且b1=1,b3=b2+2,所以q2=q+2,解得q=2(q=-1不合题意,舍去).所以bn=2n-1.若存在k,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn,则cn存在最小值.若选①,则由b5=a4+2a6,b4=a3+a5可得解得d=1,a1=1,所以Sn=n2+n,cn===.因为n∈N*,所以n2+n≥2,所以cn不存在最小值,即不存在满足题意的k.若选②,由b5=a4+2a6,b4+b6=3a3+3a5可得解得d=-1,a1=,所以Sn=-n2+n,cn==.因为当n≤20时,cn>0,当n≥21时,cn<0,所以易知cn的最小值为c21=-.即存在k=21,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn.\n若选③,则由b5=a4+2a6,a2+a3=b4可得解得d=,a1=,所以Sn=,cn==.因为2n2+26n≥28,所以cn不存在最小值,即不存在满足题意的k.1.(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示:试问2020是表中第________行的第________个数.11 997 [由题意得第n行有2n-1个数,20+2+22+23+24+25+26+27+28+29==1023,20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210==2047,∴2020是表中第11行的第997个数.]2.[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知满足________,求公比q以及a+a+…+a.从①a2a5=-32且a3+a4=-4,②a1=1且S6=9S3,③S2=a3-1且S3=a4-1这三组条件中任选一组,补充到上面问题中,并完成解答.[解] 若选①,则有a2a5=a3a4=-32,故有a3a4=-32,a3+a4=-4,解得a3=4,a4=-8,或a3=-8,a4=4,即q=-2或q=-.因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,若q=-2,a1=1,此时a+a+…+a=;或q=-,a1=-32,此时a+a+…+a=.若选②,=8,即q3=8,故q=2.\n因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,所以a+a+…+a=.若选③,S2=a3-1(*),S3=a4-1(**).令(**)式减(*)式,得a3=a4-a3,即a4=2a3,故q=2.则(*)式中,a1+a2=a3-1,即a1+2a1=4a1-1,即a1=1.因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,所以a+a+…+a=.
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高考 - 一轮复习
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