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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训39等比数列及其前n项和理含解析新人教版202302272146
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训39等比数列及其前n项和理含解析新人教版202302272146
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课后限时集训(三十九) 等比数列及其前n项和建议用时:40分钟一、选择题1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24A [由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x·(6x+6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24,选A.]2.已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是( )A.1B.-C.1或-D.-1或C [当q=1时,a3=7,S3=21,符合题意;当q≠1时,得q=-.综上,q的值是1或-,故选C.]3.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为( )A.B.-C.D.-B [当n=1时,a1=S1=3+r,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=8·32n-3=8·32n-2·3-1=·9n-1,所以3+r=,即r=-,故选B.]4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( )A.6里B.12里C.24里D.48里B [记每天走的路程里数为{an},由题意知{an}是公比为的等比数列,由S6=378,得S6\n==378,解得a1=192,∴a5=192×=12(里).故选B.]5.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )A.2B.3C.4D.5C [令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4,故选C.]6.(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )A.若a1+a2>0,则a1+a3>0B.若a1+a3>0,则a1+a2>0C.若a1>0,则S2021>0D.若a1>0,则S2020>0C [A错误,如数列:-1,2,-4,….BD错误,如数列1,-2,4,….C正确,当q<0时,显然S2021>0;当0<q<1时,及q>1时“1-q”与“1-q2021”同号,故S2021>0;当q=1时,显然S2021>0,故C正确.]二、填空题7.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值. [由题意得a1+a2=5,b=4,又b2与第一项的符号相同,所以b2=2.所以=.]8.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项之和为,则此数列的项数为.5 [设此等比数列为{am},公比为q,则该数列共有n+2项.∵14≠,∴q≠1.由等比数列的前n项和公式,得=,解得q=-,∴an+2=14×=,即=,解得n=3,∴该数列共有5项.]\n9.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=.30 [由题意知公比大于0,由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又∵S3n=14,∴S4n=14+2×23=30.]三、解答题10.(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.[解] (1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得解得a1=1,q=3.所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去),m=6.11.设数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,令bn=an+1-an(n∈N*)(1)证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.[解] (1)证明:∵an+2=an+1-an,∴an+2-an+1=(an+1-an),而bn=an+1-an,∴bn+1=bn,又b1=a2-a1=,∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)知bn=×=,∴an-an-1=,\n∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1+++…+==3-3·.1.已知{an}为等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列{bn}的前n项和为( )A.3n+1B.3n-1C.D.C [∵b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,∴a1(b2-b1)=a2,即a2=3a1,又数列{an}为等比数列,∴数列{an}的公比为q=3,∴bn+1-bn==3,∴数列{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,∴数列{bn}的前n项和为Sn=2n+×3=.故选C.]2.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为. [由题意,得正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1023,∴n=10,∴最小正方形的边长为×=.]3.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.\n[解] (1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,∴Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.当n=1时,a1=1不适合上式.∴an=(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1==.∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.1.(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示:试问2020是表中第行的第个数.11 997 [由题意得第n行有2n-1个数,20+2+22+23+24+25+26+27+28+29==1023,20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210==2047,∴2020是表中第11行的第997个数.]2.[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知满足,求公比q以及a+a+…+a.从①a2a5=-32且a3+a4=-4,②a1=1且S6=9S3,③S2=a3-1且S3=a4-1这三组条件中任选一组,补充到上面问题中,并完成解答.[解] 若选①,则有a2a5=a3a4=-32,故有a3a4=-32,a3+a4=-4,解得a3=4,a4=-8,或a3=-8,a4=4,即q=-2或q=-.因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,若q=-2,a1=1,此时a+a+…+a=;\n或q=-,a1=-32,此时a+a+…+a=.若选②,=8,即q3=8,故q=2.因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,所以a+a+…+a=.若选③,S2=a3-1(*),S3=a4-1(**).令(**)式减(*)式,得a3=a4-a3,即a4=2a3,故q=2.则(*)式中,a1+a2=a3-1,即a1+2a1=4a1-1,即a1=1.因为{a}是以a为首项,q2为公比的等比数列,所以a+a+…+a=.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:22
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