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2023版高考数学一轮复习课后限时集训37等差数列及其前n项和含解析202303181101
2023版高考数学一轮复习课后限时集训37等差数列及其前n项和含解析202303181101
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课后限时集训(三十七) 等差数列及其前n项和建议用时:40分钟一、选择题1.《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作.其中一个问题的大意为一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(物体在太阳的照射下影子长度的减少量和增加量相同).如图,若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为( )A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.一丈二尺五寸B [设晷长构成的等差数列{an}的公差为d(单位:寸),则a1=15,a13=135,∴15+12d=135,解得d=10.∴a2=15+10=25,则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为二尺五寸.故选B.]2.在等差数列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{an}的前11项和等于( )A.66B.132C.-66D.-132D [因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24.又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12,S11===-132,故选D.]3.数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5=( )A.9B.10C.11D.12D [由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}为等差数列,∴a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.故选D.]4.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A.15B.21C.23D.25D [由题意得a1+5d=3(a1+3d),∴a1=-2d.∴λ====25,故选D.]5.等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为( )\nA.6B.7C.8D.9C [∵|a6|=|a11|且公差d>0,∴a6=-a11.∴a6+a11=a8+a9=0,且a8<0,a9>0,∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…,∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.]6.(多选)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈.头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节(最下面一节)的高度为0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是( )A.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺B.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺C.蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺D.蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺AD [设从地面往上,每节竹长依次为a1尺,a2尺,a3尺,…,a30尺,所以{an}是以a1=0.5为首项,0.03为公差的等差数列,an=0.5+0.03(n-1)=0.03n+0.47,前n项和Sn=0.5n+0.015n(n-1)=0.015n2+0.485n,S9=5.58,A正确,B错误.由题意知竹节圈长,上面一圈比下面一圈少0.013尺,设从地面往上,每节圈长依次为b1尺,b2尺,b3尺,…,b30尺,所以{bn}是以b1=1.3为首项,-0.013为公差的等差数列,所以一蚂蚁往上爬,遇圈则绕圈,爬到竹子顶,行程为(0.015×302+0.485×30)+=61.395(尺),C错误,D正确.]二、填空题7.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则=____________.4 [设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得2a1=d,所以===4.]8.(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.\n3n2-2n [将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列,故它的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.]9.(2020·湖南娄底月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2=4,S6=78,则an=________,的最大值为________.6n-8 [因为S6=3(a2+a5)=78,所以a2+a5=26,又a2=4,所以a5=22.设等差数列{an}的公差为d,则d==6,所以a1=-2,所以an=6n-8,Sn==(3n-5)n,所以==-+.令f(x)=-+(x>0),则当x=时,f(x)取得最大值.因为当n=3时,=,当n=4时,=,且>,所以max=.]三、解答题10.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.[解] (1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.11.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.[解] (1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.\n由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,又b1=2,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn==.1.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S15>0,S16<0,则( )A.a8>0B.a9<0C.,,…,中最大的项为D.,,…,中最大的项为ABD [由S15==15a8>0,得a8>0,故A正确;由S16==<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0,故B正确;所以数列{an}为递减数列,且a1,…,a8为正,a9,…,an为负,且S1,…,S15大于0,S16,…,Sn小于0,则>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0,又S8>S1,a1>a8,所以>>0,所以,,…,中最大的项为,故C错误,D正确.]2.已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N*),则an=________,数列{an}中最大项的值为________. [由题意知an≠0,由an+1=得==+8,整理得-=8,即数列是公差为8的等差数列,故=+(n-1)×8=8n-17,所以an=.当n=1,2时,an<0;当n≥3时,an>0,则数列{an}在n≥3时是递减数列,故{an\n}中最大项的值为a3=.]3.已知一次函数f(x)=x+8-2n.(1)设函数y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an},求证:数列{an}是等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn},求数列{bn}的前n项和Sn.[解] (1)证明:由题意得an=8-2n,因为an+1-an=8-2(n+1)-8+2n=-2,且a1=8-2=6,所以数列{an}是首项为6,公差为-2的等差数列.(2)由题意得bn=|8-2n|.由b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2,可知此数列前4项是首项为6,公差为-2的等差数列,从第5项起,是首项为2,公差为2的等差数列.所以当n≤4时,Sn=6n+×(-2)=-n2+7n,当n≥5时,Sn=S4+(n-4)×2+×2=n2-7n+24.故Sn=1.(多选)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则下列选项正确的是( )A.an=-B.an=C.数列为等差数列D.++…+=-5050BCD [因为Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1,易知SnSn+1≠0,所以-=-1(常数),所以数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列.故C正确.所以=-1-(n-1)=-n,故Sn=-.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-(首项a1=-1不满足该式),故an=故A错误,B正确.由\nSn=-可得++…+=-(1+2+…+100)=-5050,故D正确.故选BCD.]2.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.[解] (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
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