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2023高考数学统考一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书教案理新人教版202303081231

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 等差数列及其前n项和[考试要求] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于d的一次函数.(2)当d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n是关于n的二次函数.4.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md\n的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.(5)若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.(6)若等差数列{an}的项数为偶数2n,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②S偶-S奇=nd,=.(7)若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则=.(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则①S2n+1=(2n+1)an+1;②=.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(  )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(  )(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(  )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于(  )A.   B.   C.2   D.-A [∵a4+a8=2a6=10,∴a6=5,又a10=6,∴公差d===.故选A.]2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(  )A.31B.32C.33D.34B [设数列{an}的公差为d,法一:由S5=5a3=30得a3=6,\n又a6=2,∴S8====32.法二:由得∴S8=8a1+d=8×-28×=32.]3.已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为.487 [依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+99×5=487.]4.某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为.820 [设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则剧场总共的座位数为==820.]考点一 等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  )A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2nA [设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由题知,解得∴an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.]2.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于(  )\nA.-12B.-10C.10D.12B [设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3=2a1+×d+4a1+×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.故选B.]3.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=(  )A.23B.32C.35D.38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列,其公差为-3,则9a1+×(-3)=207,解得a1=35,故选C.]点评:涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a1和公差d的等量关系.考点二 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列[典例1] 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.[解] (1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,因为Sn≠0,所以-=2,\n又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得=2n,所以Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-==-.当n=1时,a1=不适合上式.故an=点评:证明成等差数列的关键是-为与n无关的常数,同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n=1的情形.已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.[解] (1)由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得=2,即-=2,所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列.则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.考点三 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=中,Sn与a1+an可相互转化.\n(2)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可求S2m或S3m. 等差数列项的性质[典例2-1] (1)已知数列{an}是等差数列,若a9=4,a5+a6+a7=6,则S14=(  )A.84B.70C.49D.42(2)已知在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2·2·…·2)=(  )A.10B.20C.40D.2+log25(3)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(  )A.0B.37C.100D.-37(1)D (2)B (3)C [(1)因为a5+a6+a7=3a6=6,所以a6=2,又a9=4,所以S14==7(a6+a9)=42.故选D.(2)log2(2·2·…·2)=log22+log22+…+log22=a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20.故选B.(3)设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以{an+bn}为等差数列.又a1+b1=a2+b2=100,所以{an+bn}为常数列,所以a37+b37=100.]点评:一般地am+an≠am+n,等号左右两边必须是两项相加,当然也可以是am-n+am+n=2am. 等差数列前n项和的性质[典例2-2] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于(  )A.35B.42C.49D.63(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2021=.(1)B (2)4042 [(1)由题意知,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,∴S15-21+7=28,∴S15=42,故选B.(2)由等差数列的性质可得也为等差数列,设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1,\n∴=+2020d=-2018+2020=2,∴S2021=4042.]点评:本例(2),也可以根据条件先求出a1,d,再求结果,但运算量大,易出错.1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1-a-1=0,S2m-1=39,则m等于(  )A.39B.20C.19D.10B [数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1-a-1=0可化为2am-a-1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B.]2.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(  )A.20B.22C.24D.8C [因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.]3.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,都有=,则+的值为(  )A.B.C.D.C [由题意可知b3+b13=b5+b11=b1+b15=2b8,∴+======.故选C.]考点四 等差数列的前n项和及其最值 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法:①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[典例3] 等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(  )A.5B.6C.7D.8\nC [法一:(邻项变号法)由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.法二:(函数法)由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.法三:(图象法)根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值.][母题变迁]将本例中“a1=13,S3=S11”改为“a1=20,S10=S15”,则Sn最大时,n为何值?[解] 因为a1=20,S10=S15,所以10×20+d=15×20+d,所以d=-.法一:由an=20+(n-1)×=-n+,得a13=0.即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.所以当n=12或n=13时,Sn取得最大值.法二:Sn=20n+·=-n2+n=-+.因为n∈N*,所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.法三:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.所以5a13=0,即a13=0.所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.点评:本例用了三种不同的方法,其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化;方法二、三是借助二次函数的图象及性质给予解答,三种方法各有优点,灵活运用是解答此类问题的关键.1.设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为其前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为(  )\nA.5B.6C.5或6D.11C [由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,化简得a1=-5d,所以a6=0,故当n=5或6时,Sn最大.]2.(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.[解] (1)∵{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),∴(-2+2d)2=d(-4+3d),解得d=2,∴an=a1+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12.(2)法一:(函数法)由a1=-10,d=2,得Sn=-10n+×2=n2-11n=-,∴n=5或n=6时,Sn取最小值-30.法二:(邻项变号法)由(1)知,an=2n-12.所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.所以Sn的最小值为S5=S6=-30.

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发布时间:2022-08-25 17:31:02 页数:9
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文章作者:U-336598

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