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2023版新高考数学一轮总复习第6章第2讲等差数列及其前n项和课件
2023版新高考数学一轮总复习第6章第2讲等差数列及其前n项和课件
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第六章数列\n第二讲 等差数列及其前n项和\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第___项起,每一项与它的前一项的差等于____________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的______,通常用字母___表示,定义的表达式为________________________.(2)等差中项如果a,A,b成等差数列,那么___叫做a与b的等差中项且_______.2同一个常数公差dan+1-an=d(n∈N*)A\n(3)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an=_______________=am+(n-m)d(n,m∈N*).(4)前n项和公式:Sn=_____________=_______.a1+(n-1)d\n知识点二 等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)若m1+m2+…+mk=n1+n2+…+nk,则am1+am2+…+amk=an1+an2+…+ank.特别地,若m+n=p+q,则am+an=________.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为____.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.ap+aqkd\na中\n倒序相加法\n4.在遇到三个数成等差数列时,可设其为a-d,a,a+d;四个数成等差数列时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d或a-d,a,a+d,a+2D.\n题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(4)若{an},{bn}都是等差数列,则数列{pan+qbn}也是等差数列.()×√×√\n[解析](1)同一个常数.(2)因为在等差数列{an}中,当公差d>0时,该数列是递增数列,当公差d<0时,该数列是递减数列,当公差d=0时,该数列是常数数列,所以命题正确.(3)常数列的前n项和公式为一次函数.(4)设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则pan+1+qbn+1-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd1+qd2(与n值无关的常数),即数列{pan+qbn}.也是等差数列.\n题组二 走进教材2.(选修2P15例2改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为_____[解析]依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+99×5=487.487\n3.(选修2P24习题4.2T1改编)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3=2,且S6=30,则S9=_____.126\nA\n\n题组三 走向高考5.(2020·课标Ⅱ,14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=____.25\n6.(2019·北京,10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=___,Sn的最小值为______.0-10\n\n考点突破·互动探究\n例1A考点一等差数列的基本运算——自主练透\nDC\n(4)(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为_________.3n2-2n\n\n\n\n解法二:(引入参变量法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1,则n=3t-2(t=1,2,3,…).at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5.以下同方法一.\n等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.MINGSHIDIANBO\n例2考点二等差数列的判定与证明——师生共研\n\n\n等差数列的判定方法(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立.(3)通项公式法:验证an=pn+q.(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.MINGSHIDIANBO\n提醒:在解答题中常应用定义法和等差中项法证明,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an+1,an+2使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列,但其前n项和可用等差数列前n项和公式分段求解,分段的关键是找出原等差数列中变号的项.\n〔变式训练1〕1.(变设问)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.\n\n\n\n角度1等差数列项的性质(1)(2022·广州市阶段训练)已知{an}是等差数列,a3=5,a2-a4+a6=7,则数列{an}的公差为()A.-2B.-1C.1D.2例3D考点三等差数列性质的应用——多维探究\nD\nA\n[分析]由于确定等差数列需两个条件,而这三个小题都只有一个条件,故可确定a1与d的关系式,将其整体代入即可解决问题,但更简捷的方法是直接利用等差数列性质am+an=ap+aq⇔m+n=p+q求解(注意项数不变,脚标和不变).\n\nMINGSHIDIANBO\n角度2等差数列前n项和性质(1)(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=()A.7B.8C.9D.10B例4\nA\n\n\n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n238C\n(3)(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=_____.114\n(3)因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.\n名师讲坛·素养提升\n与等差数列前n项和Sn有关的最值问题(1)(2022·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n=()A.6B.7C.10D.9例5B\n[分析](1)由S5=S9可求得a1与d的关系,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为负,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解;(2)利用Sn>0⇔a1+an>0求解.B\n\n\n\n\n[引申]①本例(1)中若将“S5=S9”改为“S5=S10”,则当Sn取最大值时n=______;②本例(1)中,使Sn<0的n的最小值为____;③本例(2)中,使Sn取最大值时n=____.7或81510\n\n求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:MINGSHIDIANBO\n〔变式训练3〕(1)(2021·长春市模拟)等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.9(2)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为_____________.C\n
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-06-24 15:15:05
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文章作者:随遇而安
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