【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第6篇 第2讲 等差数列及其前n项和限时训练 理

第2讲　等差数列及其前n项和分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·潍坊模拟)已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．4B．14C．－4D．－14解析　由a3＋a9＝2a6＝4a5，得a6＝2a5，即a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0，又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以d＝4.答案　A2．(2022·山东实验中学诊断)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，那么S9＝(　　)．A．2B．8C．18D．36解析　设等差数列的公差为d，则由a1＋a3＋a11＝6，可得3a1＋12d＝6，∴a1＋4d＝2＝a5.∴S9＝＝9a5＝9×2＝18.答案　C3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)．A．－1B．1C．3D．7解析　两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.答案　B4．(2022·东北三校一模)在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为(　　)．A．6B．7C．8D．9解析　依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a165\n)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.答案　356．(2022·沈阳四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．解析　依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.答案　6三、解答题(共25分)7．(12分)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{an}的通项公式．解　由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，∴16－25d2＝7，∴d2＝，∴d＝或d＝－.当d＝时，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×＝n－；当d＝－时，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×＝－n＋.∴数列{an}的通项公式为an＝n－或an＝－n＋.8．(13分)在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解　(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由得5\n解得∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝＝＝，∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．分层B级　创新能力提升1．(2022·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．12B．14C．16D．18解析　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.答案　B2．(2022·广州一模)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是(　　)．A．2B．3C．4D．5解析　由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．答案　D3．(2022·徐州调研)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．解析　∵an＝2n＋1，∴a1＝3，∴Sn＝＝n2＋2n，∴＝n＋2，∴是公差为1，首项为3的等差数列，∴前10项和为3×10＋×1＝75.答案　754．(2022·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．5\n解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，∴＝＝，解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．答案　11　75．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则有即解得所以an＝3n－2.(2)因为Sn＝[1＋(3n－2)]＝，所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.6．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.解　(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，且公差d＝＝＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.(2)令an≥0，得n≤5.即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)＝n2－9n＋40，∴Sn＝5\n5