2023高考数学统考一轮复习阶段质量检测2理含解析新人教版202302272107
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阶段质量检测(二)建议用时:40分钟一、选择题1.设全集U=R,集合A={x|x2≥16},集合B={x|2x≥2},则(∁UA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1,4],C.[1,4)D.(1,4)C [由题意,全集U=R,集合A={x|x2≥16}={x|x≤-4或x≥4},,集合B={x|2x≥2}={x|x≥1},所以∁UA={x|-4<x<4},,所以(∁UA)∩B={x|1≤x<4}=[1,4),故选C.]2.设f(x)=,则f[f(11)]的值是( )A.1B.eC.e2D.e-1B [由分段函数解析式可得:f(11)=log3(11-2)=log332=2,则f[f(11)]=f(2)=e,故选B.]3.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x-2y的最小值为( )A.1B.-2C.-5D.-7C [画出可行域如图所示,向上平移基准直线x-2y=0到可行域边界A(3,4)的位置,由此求得目标函数的最小值为z=3-2×4=-5,故选C.]4.若曲线y=lnx在x=1处的切线也是y=ex+b的切线,则b=( )A.-1B.-2C.2D.-eB [由y=lnx得y′=,故y′|x=1=1,切点坐标为A(1,0),故切线方程为y=x-1.设y=ex+b的切点为B(m,em+b),∵y′=ex,∴em=1,所以m=0,将m=0代入切线方程得B(0,-1),将B(0,-1)代入y=em+b得:-1=e0+b,得b=-2,故选B.]5.(2020·龙岩模拟)已知函数f(x)=-ax在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为( )\nA.B.C.D.B [f′(x)=-a,设g(x)==-,∵函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,∴f′(x)=g(x)-a在(1,+∞)上有变号零点,令=t,由x>1可得lnx>0,即t>0,得到y=t-t2=-+≤,又a=时,f(x)为减函数,无极值,∴a<,故选B.]7.设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)-ax在(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.\nD [令y1=f(x)=|lnx|,y2=ax,若函数g(x)=f(x)-ax在(0,4)上有三个零点,则y1=|lnx|与y2=ax的图象在(0,4)上有三个交点.由图象(图略)易知,当a≤0时,不符合题意;当a>0时,易知y1=|lnx|与y2=ax的图象在(0,1)上有一个交点,所以只需要y1=|lnx|与y2=ax的图象在(1,4)上有两个交点即可,此时|lnx|=lnx.由lnx=ax,得a=.令h(x)=,x∈(1,4),则h′(x)=,故函数h(x)在(1,e)上单调递增,在(e,4)上单调递减.因为h(e)==,h(1)=0,h(4)==,所以<a<,故选D.]8.(2020·全国卷Ⅰ)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2B [令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b,所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.]二、填空题9.若直线y=kx与曲线y=x+e-x相切,则k=________.10.若函数f(x)=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+log=________.-1 [由f(1)=0,知a>1,且=1,解得a=2.∴log2+log=log2-log2=log2=-1.]11.已知函数f(x)=x3-bx2+c(b,c为常数).当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)有三个零点,则实数c的取值范围为________. [∵f(x)=x3-bx2+c,∴f′(x)=x2-2bx.∵当x=2时,f(x)取得极值,∴22-2b×2=0,解得b=1.∴当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.\n若f(x)=0有3个实根,则解得0<c<.]12.已知函数f(x)的定义域是[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,x-10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中所有正确命题的序号是________.①②④ [由导函数的图象可知,当-1<x<0及2<x<4时,f′(x)>0,函数单调递增,当0<x<2及4<x<5时,f′(x)<0,函数单调递减,当x=0及x=4时,函数取得极大值f(0)=2,f(4)=2,当x=2时,函数取得极小值f(2)=1.5.又f(-1)=f(5)=1,所以函数的最大值为2,最小值为1,值域为[1,2],①②正确;因为当x=0及x=4时,函数取得极大值f(0)=2,f(4)=2,要使当x∈[-1,t]时,函数f(x)的最大值是2,则0≤t≤5,所以t的最大值为5,所以③不正确;因为极小值f(2)=1.5,极大值f(0)=f(4)=2,所以当1<a<2时,y=f(x)-a最多有4个零点,所以④正确,所以正确命题的序号为①②④.]三、解答题13.已知2x≤256,且log2x≥.(1)求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(x)=(log2)×(log2x)的最大值和最小值.[解] (1)由2x≤256得x≤8,log2x≥得x≥,所以≤x≤8.(2)由(1)≤x≤8得≤log2x≤3,\nf(x)=(log2)×(log2x)=×2(1+log2x)=log2x(1+log2x),所以f(x)=log2x(1+log2x)=-,当log2x=时,f(x)min=.当log2x=3时,f(x)max=12.14.已知函数f(x)=(m∈R).(1)当m=3时,判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)当m>1时,判断并证明函数f(x)在R上的单调性.[解] (1)当m=3时,函数f(x)=为奇函数.由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)当m>1时,函数f(x)==-1+在R上为减函数.设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-1++1-15.[结构不良试题]在“①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行”这三个条件中任选一个,补充在下面问题(1)中,求出实数a的值.已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)若________,求实数a的值;(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.[解] (1)若选①,对f(x)求导,得f′(x)=2x+=,\n由已知f′(2)=2a,得=2a,解得a=4.若选②,对f(x)求导,得f′(x)=2x+=,直线x+y+1=0的斜率为-,由题意得f′(1)=2,得2+2a=2,解得a=0.若选③,对f(x)求导,得f′(x)=2x+=,直线4x-y=0的斜率为4,由题意得f′(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.(2)对g(x)=+x2+2alnx求导,得g′(x)=-+2x+.由函数g(x)在[1,2]上是减函数,可得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-x2在[1,2]上恒成立.令h(x)=-x2,当x∈[1,2]时,h′(x)=--2x=-<0,由此知h(x)在[1,2]上为减函数,所以h(x)min=h(2)=-,故a≤-.于是实数a的取值范围为.16.设函数f(x)=x2-mlnx,g(x)=x2-(m+1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m≥0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.[解] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,当m≤0时,f′(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间.当m>0时,f′(x)=,当0<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.综上,当m≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;当m>0时,函数f(x)的单调递增区间是(,+∞),单调递减区间是(0,).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-x2+(m+1)x-mlnx,x>0,问题等价于求函数F(x)的零点个数.当m=0时,F(x)=-x2+x,x>0,F(x)有唯一零点.\n当m≠0时,F′(x)=-,当m=1时,F′(x)≤0,函数F(x)单调递减,因为F(1)=>0,F(4)=-ln4<0,所以F(x)有唯一零点.当m>1时,0<x<1或x>m时,F′(x)<0;1<x<m时,F′(x)>0.所以函数F(x)在(0,1)和(m,+∞)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+>0,F(2m+2)=-mln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.当0<m<1时,0<x<m或x>1时,F′(x)<0;m<x<1时,F′(x)>0.所以函数F(x)在(0,m)和(1,+∞)上单调递减,在(m,1)上单调递增,易得lnm<0,所以F(m)=(m+2-2lnm)>0,而F(2m+2)=-mln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象有一个交点.
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